结论：工伤认定书出来后，双方私了赔偿结束，公司一般不可以再申请复议，但存在特殊情况。以下为你详细分析：
一般情况：不可复议
工伤认定是社会保险行政部门依据法律的授权，对职工因事故遭受伤害或者患职业病这一事实，是否认定为工伤的决定，它具有确定力和公信力。一旦工伤认定书作出并送达双方当事人，在通常情况下，就意味着该认定已经生效。双方在此基础上进行私了赔偿，是双方对自身权利义务的一种处分和安排，公司不能再对已经生效的工伤认定书申请复议。这是因为复议的目的是对行政机关作出的具体行政行为进行审查和纠正，而在双方已经就工伤赔偿达成一致并履行完毕的情况下，再对工伤认定进行复议已经没有实际意义，也不符合行政复议制度保障公民、法人和其他组织合法权益、监督行政机关依法行使职权的初衷。
特殊情况：可复议
- 存在欺诈、胁迫等情形：如果在私了赔偿过程中，公司是在被欺诈、胁迫等违背真实意愿的情况下达成赔偿协议的，那么公司可以在法定期限内对工伤认定书申请复议。例如，员工以威胁公司负责人及其家人安全的方式，迫使公司签订了远低于法定标准的赔偿协议，这种情况下公司有权寻求法律救济，对工伤认定进行复议，以纠正不合理的赔偿结果。
- 发现新证据：若公司在私了赔偿结束后，发现了能够证明原工伤认定存在错误的新证据，也可以申请复议。比如，公司后来找到了能够证明员工受伤并非在工作过程中因工作原因导致的视频监控资料，或者有新的证人证言能够推翻之前的认定事实，那么公司可以向作出工伤认定的社会保险行政部门提出复议申请，要求重新审查工伤认定。
法律后果及建议
- 法律后果：如果公司符合上述特殊情况并申请复议成功，工伤认定可能会被撤销或者变更，这将直接影响到之前双方达成的私了赔偿协议的效力。如果新的工伤认定结果与之前不同，公司可能需要根据新的认定结果重新与员工协商赔偿事宜，或者员工可能会要求公司补足差额。
- 建议：对于公司而言，在工伤认定书作出后，如果对认定结果有异议，不要急于与员工私了赔偿，而应该先通过合法的途径，如申请行政复议或者提起行政诉讼，来解决工伤认定的争议。如果确实需要私了赔偿，也应当在协议中明确约定，如果后续工伤认定被撤销或者变更，双方的权利义务如何调整，以避免不必要的法律纠纷。对于员工来说，在签订私了赔偿协议时，也要谨慎对待，确保自己的合法权益得到充分保障，不要轻易接受远低于法定标准的赔偿。
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