结论：马路上撞死鸡后逃跑，一般不构成交通肇事逃逸，但可能涉及其他法律责任，具体需根据实际情况判断。以下从不同角度进行分析：
一、交通肇事逃逸的构成要件
交通肇事逃逸，通常指的是在发生交通事故后，为逃避法律追究而逃跑的行为。其构成要件主要包括：
- 存在交通事故：即车辆在道路上因过错或者意外造成的人身伤亡或者财产损失的事件。
- 行为人明知发生事故：即行为人知道或应当知道自己的行为导致了事故的发生。
- 为逃避法律追究而逃跑：即行为人主观上具有逃避法律责任的故意，并实施了逃跑行为。
二、撞死鸡后逃跑是否构成交通肇事逃逸
从交通事故的定义来看：
- 撞死鸡通常不被视为交通事故中的“财产损失”或“人身伤亡”。鸡作为家禽，其价值相对较低，且不属于道路交通安全法规中明确保护的“财产”或“人身”范畴。
- 因此，单纯撞死鸡的行为，一般不被认定为交通事故。
从行为人的主观意图来看：
- 即使撞死鸡的行为在某种程度上被视为事故，但行为人逃跑的主观意图可能是为了避免与鸡的主人发生纠纷，而非逃避法律追究。
- 除非行为人明知撞死鸡可能涉及法律责任（如鸡的价值较高或属于珍稀品种），且故意逃跑以逃避赔偿等法律责任，否则一般不构成交通肇事逃逸。
从法律后果来看：
- 撞死鸡后逃跑，即使不构成交通肇事逃逸，也可能因违反《道路交通安全法》中关于“发生交通事故后应立即停车、保护现场、抢救伤员和财产、并迅速报告执勤的交通警察或者公安机关交通管理部门”的规定，而面临行政处罚。
- 如果鸡的主人能够证明鸡的价值较高，且行为人存在故意或重大过失，行为人还可能面临民事赔偿责任。
三、特殊情况下的法律责任
如果鸡属于珍稀品种或具有特殊价值：
- 撞死此类鸡可能构成对他人财产的重大损害，行为人逃跑可能被视为逃避法律责任，从而面临更严重的法律后果。
如果行为人存在酒驾、毒驾等违法行为：
- 即使撞死鸡的行为不构成交通事故，但行为人因酒驾、毒驾等违法行为逃跑，可能面临更严厉的行政处罚或刑事责任。
四、建议
发生类似情况时，应立即停车：
- 无论撞死的是鸡还是其他动物，都应立即停车查看情况，并与动物的主人或相关部门联系，协商处理事宜。
遵守法律法规：
- 驾驶车辆时应遵守《道路交通安全法》等相关法律法规，确保行车安全，避免发生不必要的纠纷和法律责任。
如有疑问，及时咨询：
- 如果对类似情况的处理存在疑问或不确定，可以及时向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见。