结论：您有权要求退款，但能否成功退款需结合具体证据和操作方式综合判断。以下是详细分析：
一、法律关系定性：您与医美机构构成“服务合同关系”
即使未签订书面合同，根据《民法典》第469条，双方通过微信、转账记录、口头约定等行为已形成事实服务合同关系。您支付款项的行为属于“要约”，医美机构收款后未提供服务，构成合同未履行。
二、退款的核心依据：医美机构构成“根本违约”
根据《民法典》第563条，若一方迟延履行债务或有其他违约行为导致合同目的无法实现，另一方可解除合同并要求退款。具体到您的情况：
- 未提供服务：医美机构未实际履行合同义务（如未安排手术、未提供产品）；
- 合同目的落空：您支付款项的目的是接受医美服务，现因未消费导致目的无法实现；
- 无过错方：您未主动放弃服务，退款请求具有合法性。
三、关键证据清单（需您补充收集）
为提高退款成功率，需准备以下证据：
- 转账记录：证明您已支付款项（银行流水、微信/支付宝转账截图）；
- 沟通记录：与医美机构或介绍人的聊天记录，证明双方约定服务内容（如项目名称、价格、时间）；
- 介绍人证言：若熟人作为中介，可请其出具书面说明或出庭作证；
- 未消费证明：如医美机构未开具收据、未安排术前检查等。
四、操作建议：分步骤推进退款
协商优先：
- 携带证据与医美机构沟通，明确要求退款并说明法律依据；
- 强调您未消费且机构未履行义务，要求全额退款（若已产生成本，可协商扣除合理费用）。
投诉举报：
- 若协商无果，向当地卫生健康委员会（医美行业主管部门）或市场监督管理局投诉，举报机构违规经营；
- 通过12315平台或拨打12345市民热线提交投诉材料。
法律途径：
- 向法院提起民事诉讼，主张解除合同并退款（诉讼费由败诉方承担）；
- 若机构存在虚假宣传、无资质经营等违法行为，可同时主张惩罚性赔偿。
五、风险提示：需避免的常见误区
- 超过诉讼时效：自您知道权利受损之日起3年内需起诉，否则可能丧失胜诉权；
- 证据缺失：若无法证明转账与医美服务的关联性（如未备注用途），可能面临举证困难；
- 私下交易风险：若通过熟人直接转账给个人而非机构账户，需先确认收款方身份及责任主体。
行动建议：立即整理转账记录和沟通证据，先与机构协商并明确告知其法律后果；若对方拒绝，可同步向卫健委投诉并准备起诉材料。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询具体操作细节。