结论：在公共场合辱骂他人是违法的，您完全有权追究对方的法律责任。具体可能涉及的法律责任及处理方式，我将从民事、行政、刑事三个角度为您详细分析。
一、民事责任
法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千零二十四条，任何组织或者个人不得以侮辱、诽谤等方式侵害他人的名誉权。名誉是对民事主体的品德、声望、才能、信用等的社会评价。
行为表现：在公共场合，如商场、街道、公园等，通过言语对他人进行贬低、诋毁，导致他人社会评价降低，即构成对他人名誉权的侵犯。
法律后果：您作为被侵权人，有权要求侵权人停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉，并可以要求赔偿损失，包括精神损害赔偿。精神损害赔偿数额会综合考虑侵权人的过错程度、侵权行为的情节、影响范围以及给您造成精神痛苦的程度等因素来确定。
二、行政责任
法律依据：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条第二项，公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
行为表现：在公共场合，如通过大声辱骂、使用侮辱性手势等方式对他人进行侮辱，且情节较重，如多次辱骂、辱骂内容恶劣等，即构成公然侮辱他人。
法律后果：对方可能面临行政处罚，包括拘留和罚款。您作为受害人，可以向公安机关报案，要求对对方进行处罚。
三、刑事责任
法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第二百四十六条，以暴力或者其他方法公然侮辱他人，情节严重的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或者剥夺政治权利。此外，如果言语辱骂内容涉及威胁恐吓，且情节恶劣的，还可能构成寻衅滋事罪，依据相关法律规定，可判五年以上十年以下有期徒刑。
行为表现：在公共场合，长时间、持续地对他人进行辱骂，使用极其恶劣、带有严重侮辱性和贬损性的语言，且对您的生活、工作、精神等方面造成了严重的负面影响，如导致您精神失常、自杀等极端后果，或在社会上引起恶劣反响和广泛关注，即构成情节严重的侮辱行为。
法律后果：对方可能面临刑事处罚，包括有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利。需要注意的是，侮辱罪属于告诉才处理的犯罪，但严重危害社会秩序和国家利益的除外。因此，在大多数情况下，您需要主动向法院提起诉讼，要求追究对方的刑事责任。
四、建议与行动
收集证据：在追究对方法律责任之前，建议您尽可能收集相关证据，如现场录音、录像、目击者证言等，以证明对方确实存在辱骂行为，并给您造成了损害。
报警处理：如果对方的行为已经构成了治安管理处罚法中的公然侮辱他人，您可以向公安机关报案，要求对对方进行处罚。
提起诉讼：如果对方的行为已经构成了民事侵权或刑事犯罪，您可以向法院提起诉讼，要求对方承担民事责任或刑事责任。在提起诉讼前，建议您咨询专业律师，以便更好地维护自己的合法权益。
总结：在公共场合辱骂他人是违法的，您完全有权追究对方的法律责任。根据辱骂行为的情节、后果及影响，对方可能面临民事赔偿、行政处罚乃至刑事处罚。因此，我建议您在遇到此类情况时，保持冷静，收集证据，并及时寻求法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。