在交通事故中对方全责且对方有轻微伤的情况下，对方去医院疗伤的费用应由对方的保险公司（交强险及商业三者险）在保险责任范围内负责赔偿。具体分析如下：

1. 保险责任划分
   根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十六条，机动车发生交通事故造成人身伤亡的，由保险公司在机动车第三者责任强制保险（交强险）责任限额范围内予以赔偿。若对方购买了商业第三者责任险（商业三者险），超出交强险限额的部分可由商业三者险继续赔偿。

   • 交强险：医疗费用赔偿限额为1.8万元（含医疗费、住院伙食补助费、营养费等），对方因事故产生的合理医疗费用应优先在此限额内赔付。
     
   • 商业三者险：若对方医疗费用超过交强险限额，或对方投保了更高保额的商业三者险，剩余部分由商业三者险按合同约定赔偿。

2. 对方全责的特殊性
   由于对方被认定为全责，其保险公司需承担全部赔偿责任，包括对方的医疗费用。您作为无责方，无需通过自己的保险公司（如车损险或车上人员责任险）赔偿对方损失，除非您自愿垫付或存在其他特殊约定。

3. 实务操作建议

   • 要求对方提供保险信息：您可要求对方出示交强险保单及商业险保单，确认保险公司及保额，以便后续理赔。
     
   • 保留医疗费用凭证：若您曾为对方垫付医疗费用，需保存所有发票、诊断证明等材料，后续可向对方保险公司主张返还。
     
   • 协商或诉讼途径：若对方保险公司拒赔或赔偿不足，您可协助对方通过协商、调解或诉讼解决，但通常由对方自行向其保险公司主张权利。

总结：对方作为全责方，其保险公司应承担对方医疗费用的赔偿责任。您无需承担费用，但需配合提供事故相关材料以协助理赔。若遇争议，可进一步向我咨询具体流程。