结论：针对您描述的情况，另一方在付清住院费后一个月又来索要费用，是否需要再次支付取决于多个因素，包括双方的责任划分、是否存在其他未结算的费用以及是否有相关协议或证据支持等。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、责任划分与费用承担
责任划分：
- 在工厂内打架导致双方受伤，首先需要确定双方的责任划分。这通常取决于打架的起因、过程以及双方的过错程度。
- 如果一方被认定为主要责任方，那么该方可能需要承担更多的医疗费用和其他相关损失。
费用承担：
- 根据责任划分，双方应按照各自的责任比例承担医疗费用。如果另一方已经付清了住院费，但后续又提出其他费用要求，需要核实这些费用是否合理且是否应由您承担。
- 如果另一方提出的费用是合理的，且根据责任划分应由您承担，那么您可能需要考虑支付这些费用。但如果费用不合理或不应由您承担，您可以拒绝支付。
二、是否存在其他未结算的费用
医疗费用以外的损失：
- 除了住院费外，打架事件还可能导致其他损失，如误工费、护理费、营养费等。如果另一方提出的费用包括这些方面，需要核实这些费用是否真实发生且合理。
- 如果这些费用是合理的且应由您承担，那么您可能需要考虑支付。但同样，如果费用不合理或不应由您承担，您可以拒绝支付。
后续治疗费用：
- 如果另一方在出院后还需要进行后续治疗，且这些治疗费用与打架事件直接相关，那么这些费用也可能需要由责任方承担。
- 但同样，需要核实这些费用的合理性和必要性，以及是否应由您承担。
三、相关协议或证据支持
协议或调解书：
- 如果双方在打架事件后达成了任何协议或调解书，并且这些协议或调解书中明确了费用的承担方式和金额，那么双方应按照协议或调解书的内容执行。
- 如果另一方提出的费用与协议或调解书的内容不符，您可以拒绝支付。
证据支持：
- 在处理此类纠纷时，证据至关重要。双方应保留好所有与打架事件相关的证据，如医疗记录、费用发票、证人证言等。
- 如果另一方提出的费用缺乏证据支持，您可以拒绝支付，并要求其提供相关证据。
四、法律建议
协商解决：
- 在处理此类纠纷时，首先建议双方尝试通过协商解决。通过友好沟通，双方可以更清楚地了解彼此的需求和立场，并寻求达成共识。
寻求法律援助：
- 如果协商无果，您可以考虑寻求法律援助。作为专业律师，我可以根据您的具体情况提供法律建议和帮助，包括起草法律文件、参与调解或诉讼等。
注意法律程序：
- 如果纠纷最终需要通过法律途径解决，您需要注意法律程序和时间限制。确保在规定的期限内提起诉讼或申请仲裁，并准备好所有必要的证据和材料。
最后，针对您的情况，我建议您首先与另一方进行友好沟通，了解其提出费用的具体原因和依据。如果无法达成共识，您可以考虑寻求我的法律帮助，以便更有效地解决纠纷。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。