结论：信用卡欠款六千元确实存在被银行起诉的风险，但具体是否会被起诉取决于多种因素，包括欠款时间、还款态度以及银行的政策等。以下是对此问题的详细分析：
一、银行起诉的权利与考量
法律权利：
- 根据信用卡领用合约及相关法律规定，持卡人未按时还款即构成违约，银行作为债权人有权通过法律途径追讨欠款，无论欠款金额大小。
实际起诉考量：
- 欠款时间：短期逾期时，银行通常会通过电话、短信等方式进行催收，而不会立即采取法律手段。然而，如果逾期时间较长，如超过3个月，且多次催收无果，银行起诉的可能性就会增加。
- 还款态度：持卡人的还款态度对银行决策有重要影响。如果持卡人表现出积极的还款意愿，与银行保持沟通，并尝试制定合理的还款计划，银行通常会给予宽限期，不会轻易采取法律手段。相反，如果持卡人恶意拖欠、拒绝还款或失联，银行则更可能选择通过法律途径解决问题。
- 银行政策：不同银行对信用卡欠款的催收和起诉政策可能有所不同。有些银行可能对小额欠款也采取严格措施，而有些银行则可能更倾向于通过其他方式催收。
二、逾期还款的法律后果
信用记录受损：
- 逾期还款将严重影响个人信用记录，对未来贷款、信用卡申请等造成不利影响。
额外费用：
- 逾期还款可能产生利息、滞纳金等额外费用，增加还款负担。
法律诉讼：
- 如果银行决定起诉，持卡人不仅需承担还款责任，还可能面临诉讼费用、律师费等额外负担。在极端情况下，如果欠款行为被认定为恶意透支，还可能面临刑事责任。根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条的规定，恶意透支数额在五万元以上不满五十万元的，认定为“数额较大”，可能面临五年以下有期徒刑或拘役，并处二万元以上二十万元以下罚金。虽然六千元未达到这一标准，但长期恶意拖欠仍可能引发法律纠纷。
三、应对建议
主动沟通：
- 尽快与银行联系，说明逾期原因及当前财务状况，展现积极的还款态度。
协商还款方案：
- 与银行商讨分期付款、延期还款等灵活的还款计划，以减轻还款压力并避免被起诉的风险。
遵守约定：
- 最终目标是按约定还款，避免不必要的法律纠纷和财务损失。
总结：信用卡欠款六千元虽然不一定会导致被起诉，但逾期还款带来的不良后果是显而易见的。因此，我建议你务必重视信用卡还款问题，积极与银行沟通并寻求解决方案。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。