政府劳务派遣员工不可以随意被开除，其劳动关系及解雇均受《中华人民共和国劳动合同法》的严格规范。以下从多个角度为你详细分析：

法律基础与保护原则

劳务派遣是一种特殊的用工形式，其中劳务派遣单位与被派遣劳动者建立劳动关系，并将劳动者派遣到用工单位（如政府机关）工作。根据《中华人民共和国劳动合同法》，被派遣劳动者享有与用工单位直接招聘的劳动者同等的权利和义务。这意味着，无论是政府劳务派遣员工还是直接招聘的员工，在劳动关系的存续、劳动报酬、工作条件等方面均受到法律的平等保护，用工单位不能随意开除劳务派遣员工。

法定解雇情形

用工单位只有在被派遣劳动者存在以下法定情形时，才可以将其退回劳务派遣单位，并最终可能导致劳动合同的解除：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件：如果劳务派遣员工在试用期内无法胜任工作，且经过培训或调整岗位后仍不能胜任，用工单位可以将其退回劳务派遣单位。
2. 严重违反用人单位的规章制度：如果劳务派遣员工严重违反了用工单位或劳务派遣单位的规章制度，用工单位有权将其退回。
3. 严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害：如果劳务派遣员工因严重失职或营私舞弊行为给用工单位造成了重大损害，用工单位可以将其退回。
4. 与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响且拒不改正：如果劳务派遣员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且这种行为对完成用工单位的工作任务造成了严重影响，且拒不改正，用工单位可以将其退回。
5. 因《劳动合同法》第二十六条第一款第一项规定的情形致使劳动合同无效：如果劳务派遣员工以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使劳务派遣单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同，导致劳动合同无效，用工单位可以将其退回。
6. 被依法追究刑事责任：如果劳务派遣员工被依法追究刑事责任，用工单位可以将其退回。
7. 患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作：如果劳务派遣员工因患病或非因工负伤，在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用工单位另行安排的工作，用工单位可以将其退回。
8. 不能胜任工作，经过培训或调整岗位仍不能胜任工作：如果劳务派遣员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的，用工单位可以将其退回。
9. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行，且未能就变更劳动合同内容达成协议：如果因客观情况发生重大变化，致使原劳动合同无法履行，且用工单位与劳务派遣员工未能就变更劳动合同内容达成协议，用工单位可以将其退回。

退回程序与劳务派遣单位责任

1. 退回程序：用工单位在退回被派遣劳动者时，必须遵循法定的程序，包括提前通知劳务派遣单位和劳动者本人，并明确说明退回的理由和依据。这是为了保障劳务派遣员工的知情权，使其能够了解被退回的原因，并有机会进行申诉或解释。
2. 劳务派遣单位处理：劳务派遣单位在接到用工单位的退回通知后，应依据《劳动合同法》的相关规定处理与劳动者的劳动关系。如果劳动者不存在可被解除劳动合同的情形，劳务派遣单位不得随意与其解除劳动合同，而应妥善安排，如重新派遣到其他用工单位或按照劳务派遣协议的约定进行处理。这是为了保障劳务派遣员工的就业权，防止其因用工单位的随意退回而失去工作。

法律责任与维权途径

若用工单位或劳务派遣单位违反法律规定，随意开除被派遣劳动者，将承担相应的法律责任。劳动者有权通过合法途径维护自身权益，包括但不限于向劳动监察部门投诉、申请劳动仲裁或提起诉讼。这些维权途径为劳务派遣员工提供了法律保障，使其能够在权益受到侵害时及时寻求帮助。

总结与建议：

政府劳务派遣员工不可以随意被开除，其劳动关系及解雇均受到法律的严格保护。如果你作为政府劳务派遣员工，遇到了被随意开除的情况，建议你首先了解被退回或开除的具体原因，并核对是否符合上述法定解雇情形。如果不符合，你可以向劳务派遣单位或用工单位提出异议，并寻求法律帮助以维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。