核心结论：遇到交通事故对方全责但不告知其保险公司的情况，您可以通过以下途径解决，我会从不同角度为您详细说明。

1. 直接向对方索要保险信息
   根据《道路交通安全法》第七十条，发生交通事故后，当事人有义务相互配合处理后续事宜，包括提供保险信息。您可以再次联系对方，明确要求其提供保险公司名称、保单号及联系方式，并告知其这是法定义务。若对方仍拒绝，可强调“若不配合，您将通过法律途径追究其责任”，通常能起到一定威慑作用。

2. 通过交警部门协助获取信息
   事故发生后，交警会出具《交通事故责任认定书》，其中会记录双方车辆信息及保险情况。您可携带认定书、身份证、驾驶证等材料，前往交警大队或通过“交管12123”APP查询对方保险信息。若交警未在认定书中明确保险信息，可申请调取事故处理档案，档案中通常会包含对方投保的保险公司名称。

3. 联系自己的保险公司启动“代位追偿”
   若您购买了车损险，可向自己的保险公司申请“代位追偿”。即由您的保险公司先垫付维修费用，再由其向对方保险公司或对方本人追偿。需提供事故认定书、维修发票、对方车辆信息等材料。此方式可快速解决您的损失赔偿问题，无需直接与对方纠缠。

4. 通过法律途径强制对方履行义务
   若对方仍拒不配合，您可向法院提起民事诉讼，要求对方赔偿损失并提供保险信息。根据《民法典》第一千二百一十三条，对方作为全责方，需承担全部赔偿责任。法院判决后，若对方仍不履行，可申请强制执行，法院会直接调取其保险信息并划扣赔偿款。

温馨提示：处理过程中，务必保留好事故认定书、现场照片、沟通记录等证据，这些是后续维权的关键。若对方态度恶劣或存在逃避行为，建议优先通过交警或法院介入，效率更高。如有其他细节需要进一步分析，欢迎随时向我咨询。