结论前置
用人单位未与劳动者签订书面劳动合同且违法辞退员工的，应依法向劳动者支付双倍工资差额及经济赔偿金。具体赔偿数额根据用工时间和辞退原因等因素确定。
详细分析
一、未签订劳动合同的双倍工资赔偿
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 若用人单位自用工之日起满一年仍然未与劳动者订立书面劳动合同的，除支付11个月的双倍工资外，视为已订立无固定期限劳动合同，并应立即补订书面劳动合同。
计算方式：
- 起算时间：用工之日起满一个月的次日。
- 截止时间：补订书面劳动合同的前一日或用工满一年的前一日（以较早者为准），但最长不超过11个月。
- 计算公式：双倍工资差额 = 月工资 × (应签未签月数 - 1)（因第一个月不计算双倍工资）。
- 举例说明：小张于2024年1月1日入职，未签合同，10月1日被辞退。则公司需支付2月1日至10月1日的双倍工资作为赔偿，共9个月。若小张月工资为5000元，则双倍工资差额为5000元 × 9 = 45000元（但实际支付时，公司已支付正常工资，故只需额外支付45000元作为赔偿，此处表述为“双倍工资差额”以明确法律性质）。
二、违法解除劳动关系的赔偿
合法与违法解除的界定：
- 合法解除：若辞退符合《劳动合同法》规定的情形，如员工严重违反规章制度、被依法追究刑事责任等，用人单位无需支付赔偿。
- 违法解除：若无合法理由辞退员工，则属于违法解除劳动关系。
赔偿依据与计算：
- 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违法解除或终止劳动合同的，应按经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿标准：按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。
- 月工资定义：指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，赔偿标准按三倍数额支付，最高不超过十二年。
- 计算公式：赔偿金 = 经济补偿 × 2 = (工作年限 × 月工资) × 2（若月工资高于三倍社平工资，则按三倍社平工资计算）。
- 举例说明：小李在公司工作了3年零3个月，月平均工资5000元，被无理由辞退。则公司应向小李支付赔偿金为：3.5个月 × 5000元/月 × 2 = 35000元。
三、劳动者维权途径
劳动者为维护自身权益，应收集能证明劳动关系存在的证据（如工资支付记录、工作证、考勤记录等），并可通过以下途径解决纠纷：
- 与用人单位协商：尝试与用人单位友好协商，寻求和解。
- 向劳动监察部门投诉：向当地劳动监察部门反映情况，请求介入调查并处理。
- 申请劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提交相关证据和仲裁申请书。
特殊情况说明
- 若用人单位有证据证明辞退合法：如员工存在严重违反规章制度等行为，则用人单位无需支付赔偿金，但仍需支付未签订劳动合同的双倍工资差额（若存在应签未签情形）。
- 若员工主动离职或存在过错：可能影响赔偿金的支付，具体需根据实际情况和法律规定判断。
总结与建议
用人单位在未签订劳动合同的情况下辞退员工，需根据具体情况承担相应的赔偿责任。劳动者应了解自身权益，积极收集证据并维权。若遇到复杂情况或不确定如何处理，建议直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细的法律指导和帮助。