在工程合同纠纷中，若双方约定了仲裁条款或事后达成了仲裁协议，那么应当向约定的仲裁委员会提交仲裁申请。以下是详细分析：
一、仲裁机构的选定
有仲裁协议的情况：
- 如果工程合同中明确约定了仲裁条款，或者双方在纠纷发生后达成了有效的书面仲裁协议，那么应当按照仲裁协议中约定的仲裁机构进行仲裁。例如，合同中可能明确约定“因本合同产生的争议，提交XX仲裁委员会仲裁”，此时就应向该仲裁委员会申请仲裁。
- 仲裁协议是启动仲裁程序的前提，它独立存在，合同的变更、解除、终止或无效不影响仲裁协议的效力。这意味着，即使合同本身存在问题，只要仲裁协议有效，双方仍需通过仲裁解决纠纷。
无仲裁协议但达成补充协议的情况：
- 若合同中未约定仲裁条款，且事后也未达成书面仲裁协议，但在纠纷发生后，双方当事人协商一致并达成补充仲裁协议，则按照补充协议中指定的仲裁机构进行仲裁。这种情况下，双方需要就仲裁机构的选择达成一致，并签订书面的补充仲裁协议。
既无仲裁协议又无法达成补充协议的情况：
- 在这种情况下，当事人不能通过仲裁方式解决纠纷，而应当选择诉讼途径，即向有管辖权的人民法院提起诉讼。这通常意味着双方需要经历更长的诉讼周期，并承担更高的诉讼成本。
二、仲裁流程概览
一旦确定了仲裁机构，接下来就可以按照仲裁流程进行纠纷解决。仲裁流程通常包括以下几个阶段：
提交仲裁申请：
- 当事人需基于双方自愿达成的仲裁协议，向选定的仲裁委员会提交仲裁申请书。申请书应详细列明双方当事人的基本信息、仲裁请求、事实理由以及证据和证据来源等。
审查与受理：
- 仲裁委员会在收到仲裁申请书后，将在五日内进行审查。若符合受理条件（包括有仲裁协议、具体仲裁请求和事实理由、属于受理范围），将发出受理通知书，并同时将相关文件送达被申请人。
组庭与开庭：
- 双方当事人在仲裁规则规定的期限内约定仲裁庭的组成方式和选定仲裁员。仲裁庭可由一名或三名仲裁员组成。若由三名仲裁员组成，则双方各自选定一名，并共同选定或委托主任指定首席仲裁员。
- 仲裁庭将提前通知双方当事人开庭日期，并按照法定程序进行庭审，包括调查与辩论环节。
裁决与执行：
- 仲裁庭在审理终结后，将进行评议，并根据事实和法律作出裁决。裁决书自作出之日起发生法律效力，仲裁委员会应在五日内将裁决书送达双方当事人。
- 当事人应自觉履行裁决书中确定的义务。若一方不履行，另一方可向有管辖权的人民法院申请执行。
三、建议与注意事项
明确仲裁机构：
- 在签订工程合同时，务必明确约定仲裁机构，并确保仲裁协议的内容合法有效。这可以避免后续因仲裁机构不明确而产生的争议。
及时固定证据：
- 在纠纷发生后，及时收集并固定相关证据，如合同文本、施工图纸、工程验收报告等。这些证据将在仲裁过程中发挥重要作用。
咨询专业律师：
- 虽然我在这里为你提供了详细的解答，但每个具体案件都有其独特性。因此，在涉及复杂的工程合同纠纷时，建议咨询专业律师以获取更具体的法律建议。不过，既然你已经在向我咨询，我会尽我所能为你提供全面的法律支持。
尊重仲裁裁决：
- 仲裁裁决具有终局性，一旦作出即产生法律效力。因此，当事人应尊重并执行仲裁裁决，避免因拒不履行而面临强制执行的法律后果。
综上所述，工程合同纠纷中的仲裁机构选定主要取决于双方当事人的约定。在签订合同时明确约定仲裁机构，并在纠纷发生后及时提交仲裁申请，是解决工程合同纠纷的有效途径。如果你有任何进一步的疑问或需要具体的法律帮助，请随时向我咨询。