结论：针对您提出的“已调解的案子有新证据证明原审认定的证据是伪造的，如何写检查监督申请书”的问题，我将从申请书的基本结构、内容要点以及注意事项三个方面为您详细解答。

一、申请书的基本结构

检查监督申请书通常应包含以下几个部分：

1. 标题：明确写明“检查监督申请书”。
2. 申请人信息：包括申请人的姓名、性别、年龄、民族、职业、住址及联系方式等。
3. 被申请人信息：即原审法院或相关调解机构的名称、地址等。
4. 申请事项：明确提出要求对原审调解案件进行复查监督，并指出新发现的证据能够证明原审认定的证据是伪造的。
5. 事实与理由：详细阐述新证据的来源、内容及其如何证明原审证据是伪造的，以及这一发现对原审调解结果的影响。
6. 证据清单：列出所有新发现的证据，并附上相关证明材料。
7. 结尾：包括申请人的签名、申请日期等。

二、内容要点

在撰写检查监督申请书时，应特别注意以下几点：

1. 清晰陈述新证据：详细描述新证据的发现过程、内容及其与原审证据的关系，确保审查机关能够清晰理解新证据的重要性。
2. 证明原审证据伪造：通过逻辑推理、对比分析等方式，充分展示新证据如何证明原审证据是伪造的，以及这一伪造对原审调解结果产生的实质性影响。
3. 引用相关法律法规：在阐述理由时，可以引用相关法律法规，如《中华人民共和国民事诉讼法》中关于证据的规定，以增强申请书的法律说服力。
4. 表达复查监督的请求：明确表达希望审查机关对原审调解案件进行复查监督，并撤销或变更原审调解结果的请求。

三、注意事项

1. 确保申请书的真实性：申请书中的所有陈述和提供的证据必须真实可靠，不得有任何虚假或误导性的内容。
2. 注意申请书的格式和排版：申请书应格式规范、排版整齐，以便审查机关能够顺利阅读和理解。
3. 及时提交申请书：一旦发现新证据，应尽快撰写并提交检查监督申请书，以免错过申请复查监督的时效。
4. 保留好相关证据和材料：在提交申请书的同时，应保留好所有相关证据和材料的原件或复印件，以备审查机关需要时提供。

示例（部分内容）：

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检查监督申请书

申请人：XXX，性别，年龄，民族，职业，住址及联系方式…

被申请人：XXX法院（或相关调解机构）

申请事项：请求对原审调解案件（案号：XXX）进行复查监督，并撤销或变更原审调解结果。

事实与理由：

近日，申请人发现新证据（证据名称及编号），该证据能够充分证明原审调解案件中认定的关键证据（原审证据名称及编号）系伪造。具体理由如下：

1. 新证据显示…（详细描述新证据的内容及其与原审证据的关系）。
2. 通过对比分析，新证据明确指出原审证据存在…（指出原审证据的伪造之处）。
3. 原审证据的伪造直接影响了原审调解结果的公正性，导致申请人权益受损…（阐述伪造证据对原审调解结果的影响）。

综上所述，申请人恳请贵院对原审调解案件进行复查监督，并依法撤销或变更原审调解结果，以维护申请人的合法权益。

证据清单：

1. 证据名称及编号1…
2. 证据名称及编号2… …

此致

XXX法院（或相关调解机构）

申请人：XXX

申请日期：XXXX年XX月XX日

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希望以上内容能够对您有所帮助。如果您在撰写过程中遇到任何问题，或者需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。