结论：当公司辞退员工未提前一个月通知时，赔偿问题需根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定，主要涉及代通知金、经济补偿金或赔偿金的支付。

1. 代通知金的支付

• 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，若公司因特定情形（如员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作、不胜任工作经培训或调岗后仍不胜任、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化等）解除劳动合同，且未提前三十日以书面形式通知员工，则需额外支付一个月工资作为代通知金。
• 计算方式：代通知金的计算基数通常为员工上一个月的工资标准，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。具体来说，就是员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。

2. 经济补偿金的支付

• 合法解除情形：若公司辞退员工符合《劳动合同法》的相关规定（如员工严重违反规章制度、严重失职等），且公司有确凿证据支持，则属于合法解除。但即便如此，若公司未提前通知，在特定情形下（如上述第四十条规定的情形），除代通知金外，还需按员工在本单位工作年限支付经济补偿金。
• 计算方式：经济补偿金按员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资同样指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
• 示例：假设某员工在公司工作3年8个月，月薪6000元，被合法辞退但未获提前通知。那么，代通知金为6000元，经济补偿金为4个月×6000元=24000元（满三年计3个月，超半年加1个月），总赔偿额为30000元。

3. 赔偿金的支付（违法解除情形）

• 法律依据：若公司辞退员工不属于上述法定情形，或虽属于可解除情形但未提前一个月书面通知，且无法证明员工存在过错，则构成违法解除。此时，员工有权选择要求继续履行劳动合同或要求公司支付赔偿金。
• 计算方式：赔偿金按照经济补偿标准的二倍向员工支付。即，员工在公司工作的每一年，都能获得两个月工资的赔偿。
• 示例：沿用上述案例，若公司违法解除劳动合同，则赔偿金为4个月×6000元×2=48000元。

4. 特殊情况处理

• 工作10年以上的员工：对于在公司工作10年以上的员工，若属于合法辞退，公司无需支付经济补偿（但特定情形下仍需支付代通知金）；若双方协商一致解除劳动合同，公司应按员工工作年限支付经济补偿；若属于违法辞退，公司则需支付二倍的经济补偿作为赔偿金。

5. 操作建议与注意事项

• 判断解除合法性：员工在面临辞退时，应首先判断公司的解除行为是否合法，并收集、保留相关证据以维护自己的权益。
• 协商与投诉：若认为公司构成违法解除，员工可先与公司进行协商，要求按照法律规定支付相应赔偿或补偿。协商不成时，可向劳动监察部门投诉，或依法向劳动仲裁机构申请仲裁。
• 法律行动：对仲裁结果不服的员工，有权向法院提起诉讼，要求公司承担法律责任。

总结：公司未提前一个月通知辞退员工的赔偿问题，需根据解除行为的合法性、员工的工作年限及具体情况来确定。员工应充分了解相关法律法规，积极维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。