结论：第一家医院是否需要承担责任，关键在于其是否存在过错以及该过错与患者损害结果之间的因果关系。以下从不同角度详细分析：
若第一家医院存在过错：
- 过错情形：例如，检查过程中操作不当、设备故障导致结果不准确、未按照规范流程进行检查、对检查结果解读错误等。
- 责任承担：根据《民法典》中关于医疗损害责任的规定，医疗机构及其医务人员因过错造成患者人身损害的，应当承担赔偿责任。因此，第一家医院可能需要赔偿患者因误诊或漏诊导致的额外医疗费、误工费、护理费、交通费等合理费用，以及可能的精神损害抚慰金。
- 举证责任：患者需要证明第一家医院存在过错，且该过错与损害结果之间存在因果关系。这通常需要通过医疗事故鉴定或司法鉴定来完成。
若第一家医院无过错：
- 无过错情形：例如，检查设备正常、操作规范、检查结果解读正确，但患者病情发展迅速或存在特殊体质等导致另一家医院检查出问题。
- 责任承担：在这种情况下，第一家医院通常无需承担赔偿责任。因为医疗行为本身存在一定的风险性和不确定性，不能要求医疗机构对所有未知或不可预见的结果都承担责任。
- 患者权益：患者仍然有权要求第一家医院提供合理的解释和说明，并可以寻求其他医疗机构的帮助以确诊和治疗。
特殊情况考虑：
- 第三方因素：如果问题是由于植入的医疗器械缺陷、使用的药品不合格等第三方因素导致的，那么责任主体可能是医疗器械的生产商或药品的供应商。第一家医院在无过错的情况下，可能只需协助患者向第三方追责。
- 患者自身因素：如果患者未按照医嘱进行复查或治疗，导致病情恶化或错过最佳治疗时机，那么患者自身也可能需要承担一定的责任。
建议：
- 及时取证：患者应尽快收集并保存所有相关的医疗记录、检查报告、费用单据等证据材料。
- 申请鉴定：如果与第一家医院协商无果，患者可以向当地的医疗事故鉴定机构申请鉴定，以明确责任归属。
- 法律途径：根据鉴定结果，患者可以选择通过协商、调解或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
后续行动：如果您或您的家人遇到了类似的情况，建议直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。