对于本地犯罪但被外地抓走的情况，处罚通常由犯罪行为发生地（即本地）的司法机关管辖，但具体执行可能涉及外地司法机关的协助或移送。以下是详细解释：

1. 犯罪行为发生地管辖原则：

   • 根据我国《刑事诉讼法》的相关规定，刑事案件一般由犯罪行为发生地的司法机关管辖。这意味着，如果犯罪行为发生在本地，那么本地的公安机关、人民检察院和人民法院通常具有管辖权。
   • 犯罪行为发生地包括犯罪行为的实施地以及犯罪结果的发生地。如果犯罪行为跨越多个地区，那么相关地区的司法机关可能都有管辖权，但通常会由最初受理的司法机关或者主要犯罪地司法机关管辖。

2. 外地抓获与移送：

   • 如果犯罪嫌疑人在外地被抓获，外地的公安机关可能会根据案件情况，将犯罪嫌疑人移送至犯罪行为发生地的公安机关进行进一步侦查。
   • 在移送过程中，外地的公安机关会与本地的公安机关进行沟通协调，确保案件的顺利移送和后续处理。

3. 审判与执行：

   • 一旦案件移送至本地的司法机关，本地的法院将负责审判工作。审判过程中，法院会依据事实和法律，对犯罪嫌疑人进行定罪量刑。
   • 如果犯罪嫌疑人被判有罪，那么刑罚的执行通常也在本地进行。不过，在某些特殊情况下，如犯罪嫌疑人户籍所在地或财产所在地在外地，或者为了便于执行等，刑罚的执行地也可能会发生变化。

4. 特殊情况下的管辖：

   • 如果犯罪行为涉及多个地区，且各地区司法机关对管辖权存在争议，那么可能会由共同的上级司法机关指定管辖。
   • 另外，对于某些特定类型的犯罪，如网络犯罪、跨国犯罪等，管辖权的确定可能会更加复杂，需要综合考虑多种因素。

总结与建议：

• 对于本地犯罪但被外地抓走的情况，家属或相关人员应首先了解案件的具体情况，包括犯罪行为的性质、发生地以及犯罪嫌疑人的抓获地点等。
• 然后，可以与本地的司法机关（如公安局、检察院或法院）进行联系，了解案件的管辖情况和后续处理流程。
• 如果在处理过程中遇到任何问题或疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。