事业单位哺乳期妇女主要享受以下权利：

1. 哺乳时间权：

   • 根据《女职工劳动保护特别规定》第九条，对哺乳未满1周岁婴儿的女职工，用人单位不得延长劳动时间或者安排夜班劳动。用人单位应当在每天的劳动时间内为哺乳期女职工安排1小时哺乳时间；女职工生育多胞胎的，每多哺乳1个婴儿每天增加1小时哺乳时间。这一规定确保了哺乳期妇女有足够的时间进行哺乳，保障了婴儿的健康和母亲的权益。

2. 产假及产假工资权：

   • 哺乳期妇女通常已经享受了产假，产假期间，她们有权获得与正常工作期间相同的工资待遇，或者按照单位规定享受产假工资。这是为了保障哺乳期妇女在生育后的经济来源，减轻她们的经济压力。

3. 不被解雇权：

   • 在哺乳期内，除非女职工存在严重违反单位规章制度、被依法追究刑事责任等法定情形，否则用人单位不得单方面解除劳动合同。这一规定保护了哺乳期妇女的就业稳定性，防止她们因生育而失去工作。

4. 健康检查权：

   • 事业单位应当为哺乳期妇女提供必要的健康检查，确保她们的身体状况适合继续工作，并及时发现和处理可能存在的健康问题。这是对哺乳期妇女身体健康的关怀和保障。

5. 工作环境调整权：

   • 如果哺乳期妇女的工作环境可能对婴儿或她们自身健康产生不利影响，如接触有毒有害物质、高温、噪音等，她们有权要求单位调整工作环境或岗位，以保护自己和婴儿的健康。

法律建议：

• 如果事业单位未按照上述规定保障哺乳期妇女的权利，哺乳期妇女可以向单位的人力资源部门或工会反映情况，要求单位纠正违法行为。
• 如果单位拒绝纠正，哺乳期妇女可以向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
• 在维权过程中，哺乳期妇女应当保留好相关证据，如劳动合同、工资单、哺乳时间记录等，以便在需要时提供证明。

可能后果：

• 如果单位违反相关规定，未保障哺乳期妇女的权利，可能会面临劳动监察部门的处罚，包括罚款、责令改正等。
• 哺乳期妇女如果因单位违法行为而遭受损失，如工资减少、健康受损等，有权要求单位进行赔偿。

作为李海山律师，我专注于劳动纠纷等领域，如果你在事业单位哺乳期妇女权利方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。