结论：母亲卖淫被抓这一情况，儿子政审证明的开具会受到一定影响，但并非绝对无法开具或通过政审，具体需结合政审用途和要求来处理，以下分情况说明。

政审用途为普通入职或一般性社会活动

1. 如实说明情况：在开具政审证明时，相关单位（如派出所、社区等）会进行背景调查。此时，儿子应如实向开具证明的单位说明母亲的情况，但同时可以强调这是母亲的个人行为，与自己无关，自己一直遵纪守法，有良好的道德品质和行为表现。
2. 提供自身良好表现证明：可以提供自己的无犯罪记录证明、工作或学习中的表彰奖励材料、社区表现证明等，以证明自己具备良好的政治素质、道德品质和遵纪守法意识，从而增加通过政审的可能性。例如，儿子可以请工作单位出具工作表现评价，证明自己在工作中认真负责、遵守规章制度；或者请学校出具在校表现证明，说明自己学习勤奋、品德优良等。

政审用途为公务员录用、入伍等对政治素质要求较高的情形

1. 积极配合调查：这类政审通常更为严格，会深入调查个人及其家庭成员的政治表现、遵纪守法情况等。儿子要积极配合政审部门的调查工作，如实提供相关信息和材料。
2. 强调自身独立性：在政审过程中，要着重强调自己与母亲违法行为的独立性，表明自己不受母亲行为的影响，有自己正确的价值观和行为准则。可以举例说明自己在日常生活中如何遵守法律法规、积极参与社会公益活动等，展现自己的良好品质和政治素养。
3. 关注政审政策：不同地区、不同单位对于政审的具体要求和标准可能会有所差异。儿子可以提前了解相关政审政策，向政审部门咨询母亲的情况会对自己的政审产生多大程度的影响，以及是否有其他补救措施或特殊情况的处理方式。例如，有些地区可能会考虑母亲违法行为的性质、情节以及儿子的实际表现等因素，综合判断是否通过政审。

特殊情况处理

如果母亲卖淫被抓后，儿子确实因为母亲的行为在政审中遇到了困难，儿子可以尝试通过以下途径解决问题：

1. 申请复议或申诉：如果儿子认为政审结果不公正，可以根据相关规定申请复议或申诉。在申请过程中，要提供充分的证据证明自己的政治素质和道德品质符合要求，以及母亲的行为不应成为影响自己政审的绝对因素。
2. 寻求法律帮助：如果儿子对政审程序或结果存在疑问，或者认为自己的合法权益受到了侵害，可以向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议和帮助。