结论：欠信用卡35000元，每个月还300元，存在被银行起诉的可能性，但具体是否会被起诉，需结合多种因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、银行的起诉权利与法律依据
从法律层面讲，银行作为债权人，在持卡人未能按信用卡领用合同的约定按时偿还欠款时，即构成违约。银行有权通过法律途径追讨欠款，无论欠款金额大小，理论上均可向法院提起诉讼。这一权利来源于《民事诉讼法》的相关规定，只要债权人在诉讼时效期限内，就有权向人民法院提起诉讼。
二、实际起诉的考量因素
虽然银行具备起诉的法律权利，但在实际操作中，银行是否会选择起诉，往往取决于以下因素的综合考量：
持卡人的还款态度：
- 若你在欠款后保持积极沟通，主动向银行说明经济状况并表达明确的还款意愿，同时付诸实际行动（如每月部分还款），银行通常倾向于通过协商而非诉讼方式解决欠款问题。
- 每月还300元，虽然金额不大，但表明了你有还款的意愿和行动，这在一定程度上降低了被起诉的风险。
欠款时间的长短：
- 在欠款初期，银行往往会通过电话、短信等温和方式进行催收。
- 若欠款持续数月甚至更长时间，且经多次有效催收仍未得到偿还，银行起诉的可能性会显著增加。
银行的内部政策：
- 不同银行对信用卡欠款的处理方式和策略各不相同。有的银行在处理欠款时可能更倾向于协商解决，而有的银行则可能在欠款管理上更为严格。
欠款金额与催收成本：
- 虽然35000元的欠款金额不算小，但银行在决定是否起诉时，也会考虑催收成本与效果。如果通过非诉讼手段能较有效地收回欠款，银行可能不会立即选择起诉。
三、逾期还款的其他风险
即便不被立即起诉，逾期还款也会带来一系列严重后果：
个人信用受损：
- 逾期还款会对个人信用记录造成严重影响，可能导致未来申请贷款、信用卡等金融服务时遇到困难。
产生额外费用：
- 根据《民法典》的相关规定，借款人未按照约定的期限返还借款的，应当按照约定或者国家有关规定支付逾期利息和滞纳金。这意味着欠款金额会随时间推移而增加。
可能面临刑事责任：
- 如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或期限透支，并且经发卡银行催收后仍不归还，可能构成信用卡诈骗罪，面临刑事责任。不过，这种情况通常涉及更大金额的恶意透支。
四、建议与行动方案
积极与银行沟通：
- 建议你及时与银行取得联系，说明你的经济状况和还款困难，并表达明确的还款意愿。
- 尝试与银行协商制定一个可行的还款计划，如延长还款期限、降低每月还款金额等。
保持还款记录：
- 继续保持每月还款300元的记录，这有助于证明你的还款意愿和行动。
- 如果经济状况有所改善，可以逐步增加还款金额，以加快还清欠款的速度。
寻求专业帮助：
- 如果你在处理信用卡欠款问题时遇到困难或不确定如何操作，可以随时向我咨询。我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总之，欠信用卡35000元每个月还300元存在被起诉的可能性，但并非必然。通过积极与银行沟通、保持还款记录并寻求专业帮助，你可以有效降低被起诉的风险并尽快解决欠款问题。