敲诈威胁（敲诈勒索罪）在不同诉讼阶段由不同机关管辖，具体来说：立案侦查阶段主要由公安机关（包括派出所）负责，审判阶段则由人民法院负责。以下是对这一问题的详细分析：

1. 立案侦查阶段：

   • 管辖机关：敲诈勒索罪作为刑事案件，在立案侦查阶段主要由公安机关负责。公安机关，包括其派出机构派出所，对于辖区内发生的敲诈勒索案件，在符合条件时有权受理并开展初步的调查工作。
   • 职责内容：公安机关在接到被害人报案后，会对案件展开全面调查，收集相关证据，确定犯罪嫌疑人，并依法采取必要的强制措施，如拘留、逮捕等。这一阶段的目标是确保案件事实清楚，证据确实、充分，为后续诉讼程序奠定基础。

2. 审查起诉阶段：

   • 移送检察院：公安机关完成侦查后，如果认为犯罪事实清楚，证据确实、充分，会依法将案件移送人民检察院审查起诉。
   • 检察院职责：检察院接收案件后，会对案卷材料进行仔细审查，核实证据，确认犯罪事实是否成立，以及是否满足提起公诉的条件。如果检察院认为构成犯罪，将向法院提起公诉；如果认为证据不足或存在其他问题，可能会退回公安机关补充侦查或作出不起诉决定。

3. 审判阶段：

   • 管辖机关：审判阶段由人民法院负责。法院根据法律规定和检察院提供的证据材料，对案件进行公开、公正、公平的审理。
   • 审判结果：法院在审理过程中，会听取控辩双方的意见，对证据进行质证，最终依据事实和法律作出判决。判决结果可能包括被告人是否构成敲诈勒索罪、应承担的刑罚种类和刑期等。

特殊情况处理：

• 在侦查终结后，如果公安机关认为不构成犯罪，会出具不予立案通知书，说明理由，并告知被害人相关权利，如申请复议或向检察院提出立案监督请求。
• 如果检察院在审查起诉过程中发现案件存在疑点或证据不足，可能会退回公安机关补充侦查，或者依法作出不起诉决定。此时，被害人如果不服，可以向上一级检察院申诉或直接向法院提起自诉。

法律建议：

• 如果您或您身边的人遭遇了敲诈威胁，应立即向公安机关报案，并配合调查工作，提供尽可能多的证据和信息。
• 在案件处理过程中，您可以咨询专业律师以了解自己的权利和义务，以及案件的可能走向和应对策略。

后续行动：

• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。