针对您提出的“打外围行贿罪被留置怎么处理”的问题，这是一个涉及法律程序与处置的复杂问题，我将为您详细解答。

首先，需要明确的是，一旦因行贿行为被留置，处理过程将严格遵循法定程序。这包括保障被留置人的基本权利，如生活、饮食、休息和安全，同时提供必要的医疗服务，并明确告知其享有的权利和应履行的义务。

一、调查讯问与证据收集

在留置期间，监察机关会依法对被留置人进行讯问，详细记录其供述的行贿事实，包括行贿对象、手段、时间、地点、目的以及所谋取的不正当利益等。讯问过程会全程录音录像，以确保证据的合法性和真实性。同时，监察机关还会通过询问证人、查询银行账户、调取相关文件资料等多种方式，全面收集能够证明行贿事实的各类证据，形成完整、确凿的证据链。

二、案件审理与处置决定

调查终结后，监察机关的案件审理部门将对整个案件进行严格审核，包括证据的充分性、合法性，事实的清楚程度，以及定性的准确性等，并形成审理报告。根据调查结果，处置决定可能包括：

1. 涉嫌犯罪移送司法：若行贿行为构成犯罪，监察机关将制作起诉意见书，连同案件材料、证据一并移送人民检察院依法审查、提起公诉。后续将由检察机关进行审查起诉，法院进行审判，行贿人可能会面临相应的刑罚。

2. 不构成犯罪或情节较轻的处理：若经调查认定行贿行为不构成犯罪，或者情节较轻，依法不需要追究刑事责任的，监察机关将视情节作出批评教育、诫勉、政务处分等不同处理方式，如给予警告、记过、记大过等政务处分。

三、留置措施的调整与解除

在留置期间，如果监察机关认为有必要继续留置以完成调查，可以依法申请延长留置期限，但延长时间不得超过三个月，总留置期限最长不得超过六个月，并需报上一级监察机关批准。若监察机关在留置期限内完成了调查，或认为没有必要继续留置的，应当及时解除留置措施。解除留置后，根据调查结果，依法进行后续处理。

四、其他特殊处理方式

• 对于具有党员或公职人员身份的行贿人，纪委监委将根据管理权限，直接作出党纪政务处分、组织处理等决定。
• 行贿人系非监察对象的事业单位工作人员的，将按程序移交其所在单位或上级主管部门处理。
• 根据行贿情节的严重程度，纪委监委还可将行贿人或涉案单位列入“黑名单”，并向党委部门、行政执法机关等单位通报，由相关单位按照党内法规和国家法律等进行进一步处理。

综上所述，对行贿人留置后的处理是一个严谨而复杂的法律过程，涉及多个环节和多种可能的处置方式。在整个过程中，各机关将严格依法行事，确保案件的公正、公平处理。如果您或您身边的人遇到此类情况，建议尽快咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。