结论：客户是否会起诉美容店，取决于多种因素，包括合同条款、美容店的处理方式以及客户的意愿等。以下从不同角度进行分析：
一、合同条款的约束
合同内容：美容店与客户之间通常存在服务合同，合同中会明确服务内容、期限、费用以及违约责任等条款。如果合同中明确规定了美容店因经营不善等原因无法继续提供服务时的处理方式，如退款、转店等，那么美容店应按照合同约定执行，以避免客户起诉。
违约责任：若合同中未明确规定或美容店未按照合同约定处理，客户有权根据合同中的违约责任条款要求美容店承担违约责任。这可能包括要求美容店继续履行合同、赔偿损失或解除合同并退款等。
二、美容店的处理方式
积极沟通：美容店在面临经营困境时，应积极与客户沟通，说明情况，并寻求解决方案。通过协商，可能能够达成双方都能接受的协议，如延长服务期限、提供替代服务或退款等，从而避免客户起诉。
妥善处理剩余卡项：美容店应妥善处理客户剩余的卡项，如提供转店服务、将卡项余额退还客户或提供其他等值服务。如果美容店能够积极、妥善地处理这些问题，客户起诉的可能性将大大降低。
三、客户的意愿与行动
客户意愿：客户是否选择起诉，还取决于其个人意愿。有些客户可能更倾向于通过协商解决问题，而有些客户则可能更倾向于通过法律途径维护自己的权益。
客户行动：如果客户决定起诉，他们需要收集相关证据，如合同、付款凭证、服务记录等，并向法院提起诉讼。法院将根据双方提供的证据和法律规定进行裁决。
四、法律后果与建议
法律后果：如果美容店被起诉并败诉，可能需要承担退款、赔偿损失等法律责任。这不仅会影响美容店的声誉，还可能对其经营造成严重影响。
建议：
总结：客户是否会起诉美容店取决于多种因素。美容店应通过积极沟通、妥善处理剩余卡项等方式来降低客户起诉的可能性。如果面临客户起诉，美容店应积极应对并寻求专业律师的帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。