结论：母亲小时候抛弃家庭，后来又带着别人的三个孩子投奔父亲这一行为本身，并不直接构成犯罪，不会因此被判刑。但具体是否涉及犯罪，还需根据其行为的具体情况和相关法律规定来判断。
分析：
抛弃家庭行为：
- 母亲小时候抛弃家庭，这一行为在道德上可能受到谴责，但在法律上，除非构成遗弃罪等特定犯罪，否则一般不会直接导致刑事责任。遗弃罪通常指的是对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。如果母亲小时候的抛弃行为并未达到遗弃罪的构成要件，那么这一行为本身不会导致判刑。
带着别人的孩子投奔父亲：
- 母亲后来带着别人的三个孩子投奔父亲，这一行为本身也不构成犯罪。除非这一行为中涉及了拐卖儿童、非法收养等违法行为，否则不会因此被判刑。如果母亲是出于善意或无奈而带着这些孩子，且没有实施任何违法行为，那么她不会因此承担刑事责任。
可能涉及的犯罪情况：
- 如果母亲在抛弃家庭或带着孩子投奔父亲的过程中，实施了其他违法行为，如虐待、遗弃（如果构成遗弃罪）、拐卖儿童、非法收养等，那么她可能会因此被判刑。这些犯罪行为的构成要件和刑罚幅度都由相关法律规定，需要根据具体情况进行判断。
家庭关系与法律责任：
- 家庭关系本身并不直接决定法律责任。即使母亲与父亲之间存在复杂的家庭关系，或者母亲与孩子之间没有血缘关系，这都不会影响法律对母亲行为的判断。法律关注的是行为本身是否违法，以及是否达到了犯罪的构成要件。
建议：
- 如果母亲的行为并未构成犯罪，那么家庭成员之间可以通过沟通、协商等方式解决矛盾和问题。
- 如果母亲的行为涉嫌犯罪，或者家庭成员之间无法自行解决矛盾，那么建议及时向公安机关报案或寻求法律援助。在这种情况下，可以向我咨询具体的法律程序和维权策略。
额外思考：
- 家庭关系中的矛盾和问题往往涉及复杂的情感因素，因此在处理时需要谨慎和理性。法律是解决矛盾和问题的一种手段，但并非唯一手段。在可能的情况下，家庭成员之间应该尝试通过沟通、协商等方式解决问题。
- 如果母亲的行为确实构成了犯罪，那么她将面临法律的制裁。但即使如此，家庭成员之间也应该保持冷静和理性，通过法律途径维护自己的权益，而不是采取过激或违法的行为。