在打击制售假劣肉制品的违法行为中，相关职能部门主要承担行政责任，同时在特定情况下也可能涉及刑事责任。以下是对此问题的详细分析：
一、行政责任
市场监督管理部门：
- 职责：市场监督管理部门是打击制售假劣肉制品的主要职能部门，负责食品安全的监督管理工作。
- 责任：若市场监督管理部门在监管过程中存在疏忽或未履行职责，导致假劣肉制品流入市场，可能面临行政问责，包括警告、记过、记大过、降级、撤职、开除等处分。同时，若因监管不力造成严重后果，如重大食品安全事故，相关责任人员还可能被追究更严重的行政责任。
公安机关：
- 职责：公安机关在打击制售假劣肉制品的犯罪行为中扮演重要角色，负责刑事案件的侦查工作。
- 责任：若公安机关在接到报案或发现犯罪线索后，未及时立案侦查或未采取有效措施制止犯罪行为，可能因渎职行为受到行政处分。
其他相关部门：
- 职责：如农业农村部门负责畜禽养殖、屠宰等环节的监管；卫生健康部门负责食品安全风险评估等工作。
- 责任：这些部门若在其职责范围内未履行好监管职责，同样可能面临行政问责。
二、刑事责任
渎职犯罪：
- 情形：若职能部门的工作人员在打击制售假劣肉制品的过程中，存在滥用职权、玩忽职守、徇私舞弊等行为，且这些行为导致了重大损失或严重后果，可能构成渎职犯罪。
- 责任：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，渎职犯罪可能面临有期徒刑、拘役等刑事处罚。
共同犯罪：
- 情形：若职能部门的工作人员与制售假劣肉制品的犯罪分子存在共谋或提供帮助等行为，可能构成共同犯罪。
- 责任：在这种情况下，职能部门的工作人员将作为共犯被追究刑事责任，根据其在犯罪中的作用和情节轻重，可能面临不同的刑事处罚。
三、实际案例与法律适用
- 在实际案例中，若职能部门因监管不力导致假劣肉制品流入市场并造成严重后果，相关责任人员往往会被追究行政责任。同时，若存在渎职行为或共同犯罪情形，还可能面临刑事责任。
- 在法律适用上，主要依据《中华人民共和国食品安全法》、《中华人民共和国刑法》以及相关行政法规和部门规章来判定职能部门的责任。
总结与建议：
- 职能部门在打击制售假劣肉制品的违法行为中扮演着至关重要的角色，必须严格履行职责，确保食品安全。
- 若职能部门存在监管不力或渎职行为，将面临行政责任甚至刑事责任的追究。
- 对于普通消费者而言，若发现制售假劣肉制品的违法行为，应及时向相关部门举报，以维护自身权益和公共安全。
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