结论前置：当劳动合同第二次到期，若公司选择不续签或降低劳动条件导致您不愿续签，且不存在您严重违反用人单位规章制度等特定情形时，公司应向您支付经济补偿金。
详细分析：
经济补偿的支付条件：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，二次固定期限劳动合同到期后，除非公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而您不同意，否则公司在终止劳动合同时应向您支付经济补偿。这意味着，如果公司不续签或者降低条件导致您不续签，公司都需要支付经济补偿。
经济补偿的计算标准：
- 经济补偿的计算依据您在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。具体为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算并支付一个月工资；不满六个月的，支付半个月工资。
- 这里的“月工资”指的是您在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果您的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或当地上年度职工月平均工资三倍，以较低者为准，且支付年限最高不超过十二年）
特定情形下的免责：
- 如果您存在《劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反公司的规章制度、被依法追究刑事责任等，导致公司决定不续签劳动合同的，公司无需支付经济补偿。但这种情况相对特殊，且需要公司有充分的证据来证明您的过错。
无固定期限劳动合同的订立与责任：
- 在连续订立二次固定期限劳动合同后，且您没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，若您提出或同意续订、订立劳动合同，除您提出订立固定期限劳动合同外，公司应当订立无固定期限劳动合同。
- 如公司违反此规定不与您订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向您每月支付二倍的工资。
维权建议：
- 在遇到合同到期不续签的情况时，您应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和意图。
- 若双方无法达成一致，您可以寻求劳动仲裁委员会或人民法院的帮助来维护自己的合法权益。在申请劳动仲裁或提起诉讼前，建议您收集好相关证据，如劳动合同、工资单、工作记录等，以证明您的工作年限和工资水平。
举例说明：
假设您在公司工作了5年6个月，劳动合同第二次到期时公司决定不续签，且您的月工资为10000元（未超过当地上年度职工月平均工资的三倍）。那么，公司应向您支付的经济补偿金为：5.5年 × 10000元/年 = 55000元。
综上所述，劳动合同第二次到期不续签时的经济补偿问题涉及多个法律知识点。在处理此类问题时，您应充分了解相关法律法规，并保留好相关证据以维护自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。