当您在起诉抚养权案件中遇到对方不出庭的情况时，您可以根据以下步骤来处理，以确保您的合法权益和子女的利益得到充分保障：

一、了解并依据法律规定

首先，您需要明确，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果被告经传票传唤无正当理由拒不到庭，或者未经法庭许可中途退庭，法院是有权进行缺席判决的。这意味着，即使对方不出庭，法院也会根据您提供的证据和事实进行审理，并作出相应的判决。

二、分析对方不出庭的原因，并采取相应措施

1. 对方下落不明：

   • 如果对方下落不明，无法直接送达传票等法律文书，法院会采取公告送达的方式。公告期满后，如果对方仍未出庭，法院将依法进行缺席审理。
   • 在此情况下，您应尽可能提供对方可能的下落线索或相关证据，如对方的亲友联系方式、可能的居住地址等，以便法院能够更有效地进行送达和审理。

2. 对方有正当理由不能到庭：

   • 如果对方因不可抗力（如自然灾害、突发疾病等）或其他正当理由不能到庭参加诉讼，他们可以向法院申请延期开庭。
   • 您需要关注法院是否收到了对方的延期申请，并了解新的开庭时间。如果对方确实有正当理由，您应理解并配合法院的安排。

3. 对方无正当理由拒不到庭：

   • 如果对方无正当理由拒不到庭，且未向法院说明情况或申请延期，法院将视为其放弃答辩和质证的权利。
   • 在这种情况下，法院将主要依据您提供的证据和事实进行审理，并可能作出对对方不利的判决。您应确保提供的证据充分、真实、合法，以支持您的诉讼请求。

三、准备充分的证据和材料

无论对方是否出庭，您都需要准备充分的证据和材料来支持自己的诉讼请求。这些证据可能包括：

• 子女的出生证明、户口簿等身份证明材料，以证明您与子女的亲子关系；
• 双方的经济收入证明、财产状况证明等，以证明您的经济能力和对方的支付能力；
• 子女的生活、教育、医疗等方面的费用支出凭证，以证明子女实际需要的抚养费用；
• 其他与抚养权、抚养费相关的证据材料，如对方与子女的相处情况、对方的经济状况变化等。

四、遵循法院的审理程序，积极配合

在对方不出庭的情况下，您应积极配合法院的审理工作，按照法院的要求提供证据、参加庭审等。同时，您也可以向法院申请调查取证或要求证人出庭作证，以进一步证明自己的主张。

五、考虑判决后的执行问题

如果法院判决后对方仍不履行支付抚养费的义务，您可以在判决生效后两年内到法院申请强制执行。法院将采取一系列强制措施来执行判决，包括但不限于查询、冻结、扣划对方的银行存款，查封、拍卖其名下的财产等。对方若拒绝执行，还可能被列入失信被执行人黑名单，限制其高消费，甚至面临拘留罚款等法律后果。

六、保持冷静，理性处理

在整个过程中，您应保持冷静和理性，不要因为对方不出庭而情绪激动或采取过激行为。通过合法途径维护自己的权益和子女的利益是最重要的。

综上所述，当对方在起诉抚养权案件中不出庭时，您可以通过了解法律规定、分析对方不出庭的原因并采取相应措施、准备充分的证据和材料、遵循法院的审理程序并积极配合、考虑判决后的执行问题以及保持冷静理性处理等方式来维护自己的合法权益和子女的利益。