员工在工作期间生病，其与公司之间的关系需根据具体情况来判断，但一般来说，员工在医疗期内公司不得随意解除劳动合同。以下是对此问题的详细解析：

1. 医疗期内的保护：

   • 定义与时长：根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，企业职工因患病或非因工负伤，需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，给予三个月到二十四个月的医疗期。这是法律明确规定的，在医疗期内员工享有不得被解除劳动合同的保护。
   • 公司义务：在医疗期内，公司不仅不得解除劳动合同，还应按照相关规定支付员工病假工资或疾病救济费，并承担社保费用。若公司违法解除劳动合同，员工有权要求继续履行劳动合同，或要求公司按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

2. 医疗期满后的处理：

   • 员工不能胜任工作：若员工医疗期满后，不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司需提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，方可解除劳动合同。同时，公司应支付经济补偿金，计算公式为：经济补偿金=工作年限×月工资（工作年限每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资）。
   • 员工能胜任工作：若员工医疗期满后能够胜任工作，公司无正当理由辞退则属于违法辞退，需承担相应法律责任，包括支付赔偿金等。

3. 特殊情况下的辞退：

   • 若员工在生病期间存在严重违反公司规章制度等法定解除劳动合同的情形（如提供虚假病假证明、严重失职等），公司可以依法辞退员工，且无需支付经济补偿。但这种情况需要公司有充分的证据来证明员工的违规行为。

4. 经济补偿与医疗补助费：

   • 除了经济补偿金外，对于医疗期满后仍不能工作的员工，公司还可能需支付医疗补助费。具体标准依据地方规定和实际情况而定，但一般会是员工月工资的一定倍数。

实际应用建议：

• 对于员工而言，若在工作期间生病，应及时向公司报告并申请病假，保留好相关医疗证明和病假申请记录。在医疗期内，员工应安心治疗，不必担心被公司随意辞退。
• 对于公司而言，面对员工生病的情况，应严格遵守相关法律法规，给予员工必要的医疗期和相应的待遇。若对员工的病情、医疗期或解除劳动合同等事宜存在疑虑或争议，建议及时向我咨询，以获取准确的法律意见和指导，避免不必要的法律风险和经济损失。

总之，员工在工作期间生病，其与公司之间的关系需根据具体情况来判断。但无论如何，公司都应遵守相关法律法规，保障员工的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。