结论：狗咬死别人的鸡跑了，一般情况下，狗的主人不会因此有“案底”，但可能面临民事赔偿责任。若狗主人存在故意或重大过失，且情节严重，可能涉及行政责任，但通常也不构成犯罪，不会留下刑事案底。

分析说明：

1. 民事责任角度：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。在此情况下，狗咬死了别人的鸡，狗的主人作为饲养人或管理人，应当承担赔偿责任，赔偿鸡的所有者因此遭受的损失。
   • 这种责任属于民事责任，不会导致狗主人留下“案底”。民事责任主要涉及赔偿问题，通过民事诉讼或调解等方式解决。

2. 行政责任角度：

   • 如果狗主人存在故意或重大过失，比如明知狗有攻击性却未采取必要措施防止其伤害他人财物，且情节严重（如多次发生类似事件、造成较大损失等），可能面临行政处罚，如罚款、警告等。
   • 但这种行政处罚通常也不会留下“案底”，除非涉及较为严重的违法行为，且被记录在行政处罚记录中。然而，就狗咬死鸡这一具体行为而言，一般很难达到需要行政处罚的严重程度。

3. 刑事责任角度：

   • 在极少数情况下，如果狗主人的行为构成犯罪（如故意放狗咬人或咬毁他人财物，且情节特别严重），则可能面临刑事责任。但这种情况非常罕见，且需要满足严格的犯罪构成要件。
   • 刑事责任会导致留下刑事案底，对个人的信用、就业等产生长期影响。但就狗咬死鸡这一行为而言，几乎不可能构成犯罪。

特殊场景：

• 如果狗主人能够证明鸡的所有者存在过错（如故意挑逗狗导致被咬），或者能够证明自己已经采取了必要的防范措施但仍然无法避免事件的发生，可能可以减轻或免除赔偿责任。但这并不改变狗主人可能面临的民事责任性质，只是责任大小的问题。

行动建议：

• 作为狗的主人，应当加强对狗的管理和训练，防止其伤害他人或他人财物。
• 如果发生类似事件，应当积极与鸡的所有者沟通协商赔偿事宜，避免矛盾升级。
• 如果对赔偿责任或赔偿金额有争议，可以寻求法律援助或咨询专业律师以维护自己的合法权益。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。