您可以先主动联系对方保险公司或通过报警、联系自己保险公司等方式来推动问题解决。具体来说，可以按照以下步骤处理：

1. 主动联系对方保险公司
   如果对方留下了保险公司和保单信息（如交强险或商业险保单号），您可以直接拨打保险公司客服电话，提供事故时间、地点、对方车牌号等信息，要求对方启动理赔流程。若对方未留信息，可尝试通过交警部门调取对方保险信息（需提供事故认定书）。

2. 报警并获取事故认定书
   若对方未留信息或拒绝配合，立即报警并要求交警出具《交通事故责任认定书》。认定书是后续维权的关键证据，可明确对方责任比例。即使对方逃逸，交警也可通过监控等手段追查，并认定对方全责。

3. 联系自己的保险公司
   若您购买了车损险，可向自己的保险公司申请“代位追偿”。即由您的保险公司先赔付维修费用，再由保险公司向对方追偿。此方式需提供事故认定书、对方车辆信息等材料，且可能影响次年保费（部分保险公司对代位追偿不涨保费）。

4. 法律途径维权
   若对方仍不配合且保险公司推诿，可向法院起诉对方及其保险公司，要求赔偿维修费、误工费等损失。起诉需准备事故认定书、维修发票、现场照片等证据，诉讼流程一般需3-6个月。

温馨提示：处理过程中务必保留所有证据（如现场照片、沟通记录、维修清单等），并注意时效性（如诉讼时效为3年）。若对方拒不赔偿，其保险保费可能上浮，甚至影响个人征信。如有进一步疑问，欢迎随时向我咨询。