在私人厂子干活手指断筋，您有权要求相应的工伤赔偿。以下是从不同角度为您详细分析这一情况：
一、工伤认定
首先，需要确认您的情况是否构成工伤。根据《工伤保险条例》的规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应当认定为工伤。在您的情况下，如果在私人厂子干活时手指断筋，且这一伤害是在工作时间和工作场所内因工作原因造成的，那么您的情况很可能构成工伤。
二、工伤赔偿流程
及时报告与就医：
- 您应立即向厂子负责人报告受伤情况，并尽快前往医疗机构接受治疗。
- 保留好所有医疗记录和费用单据，这些将是后续申请工伤赔偿的重要依据。
申请工伤认定：
- 在受伤后的一定期限内（具体期限可能因地区而异，建议尽快咨询当地社保部门或我），您或您的家属需要向当地社保部门申请工伤认定。
- 提交相关材料，如医疗记录、工作证明、事故报告等。
劳动能力鉴定：
- 如果您的伤势较重，可能需要进行劳动能力鉴定，以确定您的伤残等级。
- 劳动能力鉴定将由专业的医疗机构进行，并出具鉴定报告。
申请工伤赔偿：
- 根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，您可以向厂子或社保部门申请工伤赔偿。
- 赔偿项目可能包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等。
三、赔偿项目与标准
医疗费：
- 包括因工伤而产生的所有医疗费用，如手术费、药费、住院费等。
停工留薪期工资：
- 在您因工伤需要暂停工作接受治疗期间，厂子应支付您停工留薪期的工资。
- 停工留薪期的长度通常根据您的伤势和医疗机构的建议来确定。
伤残补助金：
- 如果您的伤势构成伤残，您有权获得伤残补助金。
- 伤残补助金的金额将根据您的伤残等级和当地的赔偿标准来确定。伤残补助金计算公式一般为：
\(伤残补助金 = 本人工资 \times 伤残等级对应的月数\)
- 例如，如果您的伤残等级为十级，且当地规定十级伤残对应的月数为7个月，您的月工资为5000元，则伤残补助金为\(5000元/月 \times 7月 = 35000元\)。
四、特殊情况与建议
如果厂子未缴纳工伤保险：
- 如果厂子未为您缴纳工伤保险，那么所有的工伤赔偿费用将由厂子承担。
- 在这种情况下，您可能需要通过法律途径来维护自己的权益。
如果与厂子协商无果：
- 如果您与厂子在工伤赔偿问题上无法达成一致，您可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁。
- 如果对劳动仲裁结果不满，您还可以向法院提起诉讼。
建议：
- 在处理工伤赔偿问题时，建议您保留好所有相关证据和材料。
- 如果可能的话，寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。我就是专业律师，擅长处理婚姻家庭、劳动纠纷等领域的问题，如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您在处理工伤赔偿问题时遇到任何困难或疑问，请随时向我咨询。