劳务派遣公司并没有权利随便开除工厂派遣工。以下从不同角度为你详细分析：
法律角度
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳务派遣单位（即用人单位）与被派遣劳动者（即工厂派遣工）之间建立的是劳动关系，双方应当签订书面劳动合同，并明确约定双方的权利和义务。在劳动合同期限内，劳务派遣单位不得随意解除与被派遣劳动者的劳动合同。如果劳务派遣单位想要解除劳动合同，必须符合法律规定的情形，如被派遣劳动者严重违反用人单位的规章制度、严重失职给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等，或者双方协商一致解除劳动合同。
实际操作角度
合法解除劳动合同的情形：
- 如果被派遣劳动者存在严重违反劳务派遣单位或用工单位（即工厂）规章制度的行为，且该规章制度已经依法制定并公示，劳务派遣单位在提供充分证据的情况下，可以依法解除劳动合同。
- 如果被派遣劳动者因严重失职、营私舞弊给劳务派遣单位或用工单位造成重大损害，劳务派遣单位同样可以依法解除劳动合同。
- 在被派遣劳动者被依法追究刑事责任的情况下，劳务派遣单位也可以解除劳动合同。
违法解除劳动合同的后果：
- 如果劳务派遣单位违反法律规定，随意解除与被派遣劳动者的劳动合同，被派遣劳动者有权要求劳务派遣单位继续履行劳动合同，或者要求劳务派遣单位支付赔偿金。赔偿金的计算标准通常为被派遣劳动者在劳动合同解除前十二个月的平均工资乘以违法解除劳动合同的月数（但最高不超过十二个月）。
维权建议
- 保留证据：如果被派遣劳动者认为劳务派遣单位违法解除了劳动合同，应当及时保留相关证据，如劳动合同、解除劳动合同通知书、工资单、工作证等，以便在后续维权过程中使用。
- 协商解决：在保留证据的同时，被派遣劳动者可以尝试与劳务派遣单位进行协商，寻求和解或达成补偿协议。
- 申请劳动仲裁或提起诉讼：如果协商无果，被派遣劳动者可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求劳务派遣单位支付赔偿金或继续履行劳动合同。如果对劳动仲裁结果不服，还可以向人民法院提起诉讼。
总结与提醒：劳务派遣公司并没有权利随便开除工厂派遣工。如果劳务派遣单位违反法律规定解除劳动合同，被派遣劳动者有权依法维权。如果你或你身边的人遇到了类似的问题，可以直接向我咨询，我会为你提供专业的法律帮助。