检察机关在收到犯罪嫌疑人于判决书送达后最后一个工作日提出上诉的情况时，应按照以下步骤处理：

1. 确认上诉的合法性与有效性
   首先，检察机关需核实上诉是否在法定期限内提出。根据《刑事诉讼法》第230条，被告人、自诉人及其法定代理人对一审判决不服的，有权在判决书送达之日起10日内提出上诉。若犯罪嫌疑人在最后一个工作日（即第10日）提出上诉，只要未超过当日24时（或法院接收时间），均视为有效上诉。检察机关需确认上诉材料是否齐全（如上诉状、身份证明等），并记录上诉时间节点。

2. 审查上诉理由与案件事实
   检察机关需对上诉理由进行初步审查，判断其是否涉及事实认定错误、法律适用不当或程序违法等法定上诉事由。例如，若犯罪嫌疑人主张证据不足、量刑过重或存在刑讯逼供等情形，检察机关需结合一审卷宗、庭审记录及新证据（如有）进行综合评估。此阶段审查旨在为后续抗诉或支持上诉做准备，但检察机关不直接干预上诉程序。

3. 履行法律监督职责
   根据《刑事诉讼法》第8条，检察机关是法律监督机关。若检察机关认为一审判决确有错误（如量刑畸轻、事实不清），可在犯罪嫌疑人上诉后，同步向上一级法院提出抗诉（需在收到判决书后10日内提出）。此时，案件进入二审程序，检察机关需派员出庭支持抗诉或上诉，并提交书面意见。若检察机关认为一审判决无误，则无需抗诉，但需在二审中履行监督职责，确保审判合法。

4. 协助二审法院审理
   在二审阶段，检察机关需根据上诉或抗诉请求，向法院提交相关证据材料，并参与庭审辩论。例如，若犯罪嫌疑人上诉主张“认罪认罚从宽条款适用不当”，检察机关需举证说明一审量刑的合理性；若检察机关提出抗诉，则需论证一审判决的错误之处。二审法院将综合双方意见作出终审判决。

5. 关注上诉结果与执行衔接
   二审判决生效后，检察机关需监督判决执行情况。若二审维持原判，检察机关需确保刑罚执行合法；若二审改判或发回重审，检察机关需根据新判决调整监督重点（如监督重审程序合法性或新判决执行）。

总结：检察机关在犯罪嫌疑人上诉后，核心职责是确认上诉合法性、审查判决合理性、履行监督职能并参与二审程序，最终确保案件审理公正、刑罚执行合法。若您对具体案件处理流程或法律适用有疑问，可直接向我咨询，我将结合实务经验为您详细解答。