核心结论：第二次职务合同到期未续签但继续工作的情况下，赔偿问题需分情况讨论，具体如下：

1. 用人单位未续签但继续用工，劳动者主张双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。若第二次合同到期后，用人单位未续签但劳动者继续工作，自合同到期次日起满一个月的次日至补签书面合同前一日，用人单位需支付双倍工资差额（即原工资标准+一倍赔偿）。
   例外：若双方已实际履行口头续约或用人单位已明确表示续签但因客观原因延迟（如合同文本审批中），可能不适用双倍工资规则，需结合具体证据判断。

2. 劳动者以未续签为由主张经济补偿
   若劳动者因用人单位未续签合同而主动离职，可依据《劳动合同法》第四十六条第五项要求用人单位支付经济补偿，标准为每工作一年支付一个月工资（满六个月不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资）。
   关键点：劳动者需证明离职原因系用人单位未续签合同（如书面通知、沟通记录等），否则可能被认定为个人原因离职，无法主张补偿。

3. 用人单位违法终止劳动关系的赔偿
   若第二次合同到期后，用人单位未续签且直接终止劳动关系，可能构成违法解除。根据《劳动合同法》第八十七条，劳动者可主张赔偿金（即经济补偿标准的二倍）。
   例外：若用人单位符合《劳动合同法》第十四条规定的“应当订立无固定期限劳动合同”情形（如劳动者已在该单位连续工作满十年），却未续签且终止劳动关系，则必然构成违法解除，需支付赔偿金。

建议行动：

• 劳动者：保留工资条、考勤记录、工作证等证据，与用人单位协商补签合同或协商补偿；若协商无果，可向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
  
• 用人单位：及时与劳动者续签合同，避免法律风险；若因客观原因延迟，需留存书面沟通记录（如邮件、微信）证明非恶意不签。
  

如有进一步细节（如合同期限、终止原因等），可向我补充说明，我会为您细化分析。