结论前置：离婚后不给抚养费，一般不构成遗弃罪，但确实违反了法律对于父母抚养子女的义务，属于民事违约行为。若因此导致子女生活陷入困境且情节恶劣，则可能构成遗弃罪。

一、一般情况下的法律性质与后果

1. 不构成遗弃罪：

   • 遗弃罪要求行为人对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，且情节恶劣。单纯不给抚养费，通常被视为未履行经济上的供养义务，并未完全放弃扶养责任，因此不构成遗弃罪。

2. 民事违约行为：

   • 支付抚养费是离婚后不直接抚养子女一方的法定义务。根据《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条的规定，离婚后，子女由一方直接抚养的，另一方应当负担部分或者全部抚养费。拒不履行此义务，将构成民事违约，直接抚养方有权通过民事诉讼要求其支付。

3. 法律责任：

   • 根据《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第六十一条，对拒不履行生效判决、裁定、调解书中有关子女抚养义务的当事人，人民法院可采取强制措施，如冻结银行账户、查封财产等，以确保抚养费的支付。

二、可能构成遗弃的情形

如果拒付抚养费导致子女生活陷入严重困境，如饥寒交迫、患病无法医治等，且达到情节恶劣的程度，就可能构成遗弃罪。司法实践中，“情节恶劣”一般包括以下情形：

1. 导致被害人重伤、死亡：

   • 如因拒付抚养费导致子女无法得到及时救治而重伤或死亡。

2. 使被害人生活无着、流离失所：

   • 如因拒付抚养费导致子女无家可归，被迫沿街乞讨或露宿街头。

3. 迫使被害人走投无路自杀：

   • 如因拒付抚养费导致子女精神崩溃而自杀。

三、法律依据汇总

1. 民事层面：

   • 《中华人民共和国民法典》第一千零八十五条：明确规定了离婚后不直接抚养子女的一方应负担抚养费的义务。
   • 《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第六十一条：规定了对拒不履行抚养义务者可采取的强制措施。

2. 刑事层面：

   • 《中华人民共和国刑法》第二百六十一条：规定了遗弃罪的构成要件及刑罚，即对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。

四、建议与指导

离婚后，双方应本着对子女负责的态度，协商确定合理的抚养费支付方式及金额，确保子女的健康成长和生活需求得到满足。如遇对方拒不履行抚养义务，应及时通过法律途径维护自身及子女的合法权益。具体来说：

1. 协商解决：

   • 双方可以尝试通过协商解决抚养费支付问题，达成一致意见并签订书面协议。

2. 民事诉讼：

   • 如协商无果，直接抚养方可以向人民法院提起诉讼，要求对方支付抚养费。法院将根据双方经济状况、子女需要及当地生活水平等因素判决支付数额和期限。

3. 申请强制执行：

   • 如对方仍不履行法院判决，直接抚养方可以申请强制执行，法院有权采取一系列强制措施来确保抚养费的支付。

4. 报警处理：

   • 如对方拒付抚养费导致子女生活陷入严重困境且情节恶劣，直接抚养方可以向公安机关报警，寻求刑事法律救济。

总之，离婚后不给抚养费并不一定构成遗弃罪，而是需要根据具体情况及法律规定来判断。在处理此类问题时，应确保法律的准确适用和公正执行，以维护未成年子女的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。