纪委监委在留置人员供出行贿人后，会立即启动对行贿人的调查程序，但具体时间节点会因案件复杂程度、证据收集情况等因素而有所不同。以下从多个角度为你详细分析：
一、调查启动的时机
留置期间供出行贿人：在留置期间，如果留置人员主动供出行贿人，纪委监委通常会立即对这一线索进行核实。一旦核实线索真实可靠，且行贿行为涉嫌违法犯罪，纪委监委会迅速启动对行贿人的调查程序。
留置结束后供出行贿人：如果留置人员在留置结束后才供出行贿人，纪委监委在收到这一线索后，也会尽快进行核实。核实无误后，同样会启动对行贿人的调查。不过，由于此时留置措施已经解除，调查的启动可能会受到一些其他因素的影响，如证据的收集、行贿人的行踪等。
二、调查的具体流程
线索核实：纪委监委在收到留置人员供出的行贿人线索后，会首先进行线索核实。这包括对留置人员的陈述进行审查，以及收集其他相关证据来佐证这一线索的真实性。
立案调查：如果线索核实无误，且行贿行为涉嫌违法犯罪，纪委监委会正式立案调查。此时，调查人员会依法对行贿人进行询问、调取相关证据等，以查明行贿事实。
采取强制措施：在调查过程中，如果行贿人存在逃跑、毁灭证据等可能妨碍调查的行为，纪委监委可以依法对其采取强制措施，如留置、监视居住等，以确保调查的顺利进行。
三、影响调查时间的因素
案件复杂程度：如果行贿案件涉及多个行贿人、多笔行贿款项或复杂的行贿手段，调查时间可能会相对较长。因为调查人员需要花费更多时间来收集证据、理清案件事实。
证据收集情况：证据的收集是调查的关键环节。如果行贿人隐藏得较深，或者相关证据已经灭失或难以获取，调查时间也可能会延长。
行贿人的配合程度：行贿人的配合程度也会影响调查时间。如果行贿人能够主动交代行贿事实、提供相关证据，调查时间可能会相对较短。反之，如果行贿人拒不配合、隐瞒事实，调查时间可能会延长。
四、法律建议
对于留置人员：如果你或你身边的人正处于留置期间，且供出了行贿人线索，建议积极配合纪委监委的调查工作，如实陈述事实、提供相关证据。这有助于加快调查进程，也有助于你自身可能涉及的违法犯罪行为的认定和处理。
对于行贿人：如果你被供出行贿行为，建议尽快主动向纪委监委交代事实、提供相关证据。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，行贿罪是违法犯罪行为，但主动交代、配合调查可以从轻或减轻处罚。
对于一般公众：建议增强法律意识，遵守法律法规，不要参与行贿等违法犯罪行为。同时，如果发现身边有行贿等违法犯罪行为，可以向纪委监委等有关部门举报。
如果你或你身边的人涉及职务犯罪辩护相关问题，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议。