结论：在申请行政处罚的分期后却不履行的情况下，行政机关通常可以撤销分期决定，并申请强制执行原行政处罚决定。但具体是否可以撤销及申请强制执行，需根据具体情况和相关法律法规进行判断。

分析：

1. 分期决定的性质与撤销条件：

   • 分期决定是行政机关在作出行政处罚决定后，根据被处罚人的申请和实际情况，允许其分期缴纳罚款的一种行政行为。这种决定通常基于被处罚人的经济状况和履行能力，旨在确保行政处罚的有效执行，同时兼顾被处罚人的合法权益。
   • 如果被处罚人在分期决定生效后，未按照约定的期限和金额履行缴纳义务，行政机关有权根据相关法律法规和分期决定的内容，撤销分期决定。撤销分期决定后，原行政处罚决定将恢复执行效力。

2. 申请强制执行的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政处罚法》及相关法律法规的规定，行政机关在作出行政处罚决定后，如果被处罚人未在法定期限内履行缴纳罚款的义务，行政机关有权申请人民法院强制执行。
   • 在分期决定被撤销后，原行政处罚决定恢复执行效力，行政机关可以依据该决定向人民法院申请强制执行。

3. 具体操作流程：

   • 行政机关在发现被处罚人未履行分期缴纳义务后，应首先进行催告，要求其在一定期限内履行缴纳义务。
   • 如果被处罚人在催告期限内仍未履行缴纳义务，行政机关可以作出撤销分期决定的决定，并通知被处罚人。
   • 随后，行政机关可以向人民法院提交强制执行申请书及相关证据材料，申请强制执行原行政处罚决定。

4. 注意事项：

   • 行政机关在撤销分期决定和申请强制执行时，应确保程序合法、证据充分，以避免因程序瑕疵或证据不足而导致执行申请被驳回。
   • 被处罚人在收到撤销分期决定和强制执行申请后，有权提出异议或申请行政复议、提起行政诉讼等法律救济途径。行政机关应尊重被处罚人的合法权益，依法处理相关争议。

建议：

• 对于行政机关而言，在作出分期决定时应谨慎评估被处罚人的经济状况和履行能力，确保分期决定的合理性和可行性。同时，在撤销分期决定和申请强制执行时，应严格遵守相关法律法规和程序要求，确保执行申请的合法性和有效性。
• 对于被处罚人而言，应认真履行分期缴纳义务，避免因未履行义务而导致分期决定被撤销和原行政处罚决定被强制执行。如果确实存在经济困难或特殊情况无法履行缴纳义务，应及时向行政机关说明情况并申请延期或减免缴纳等法律救济途径。

如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。