结论前置：公交车起步时乘客摔倒，责任归属需根据具体情况分析，主要涉及公交公司、司机及乘客三方。同时，该类事件通常由交通运输管理部门负责监管和处理。
详细分析：
公交公司的责任：
- 安全保障义务：公交公司作为承运人，有义务保障乘客在乘车过程中的安全。这包括提供安全的车辆、合格的驾驶员以及确保车辆平稳行驶等。若因公交公司未履行安全保障义务（如车辆存在安全隐患、驾驶员操作不当等）导致乘客摔倒受伤，公交公司应承担相应的赔偿责任。
- 管理责任：公交公司对驾驶员负有管理和监督的责任。若驾驶员的违规行为（如急刹车、急加速等）导致乘客受伤，且该行为与公司管理不善有关，公交公司也应承担一定责任。
司机的责任：
- 驾驶规范：司机在驾驶过程中应遵守交通规则和驾驶规范，确保行车安全。若因司机操作不当（如急刹车、急加速等）导致乘客摔倒受伤，司机应承担直接责任。在某些情况下，司机可能因构成交通肇事罪或过失致人重伤罪而面临刑事责任。
- 注意义务：司机在驾驶过程中应保持高度警惕，注意观察路况和车内情况，及时采取措施避免危险发生。若因司机疏忽大意或未尽到注意义务导致乘客受伤，司机也应承担相应责任。
乘客的责任：
- 自身过错：若乘客在乘车过程中存在过错（如未站稳扶好、在车厢内随意走动等），导致自己摔倒受伤，乘客应自行承担相应的责任。在这种情况下，可以减轻公交公司和司机的责任。
- 特殊情形下的责任：若乘客明知车辆存在安全隐患或驾驶员存在违规行为仍选择乘坐，且因此导致受伤，乘客可能需要承担一定比例的责任。
管理部门：
- 公交车的管理，包括公交公司的运营、驾驶员的资质和行为、车辆的安全性能等，通常由交通运输管理部门负责监管。若乘客在公交车起步时摔倒受伤，并希望了解责任归属或寻求帮助，可以向交通运输管理部门投诉或咨询。该部门将根据具体情况进行调查，并协调处理相关事宜。
实际操作建议：
- 现场处理：若乘客在公交车上摔倒受伤，司机应立即停车查看乘客受伤情况，并拨打120急救电话（如伤势较重）。同时，保护现场，通过拍照等方式固定证据，记录车辆行驶状态、车内情况等，并及时联系公交公司汇报事故情况。
- 后续处理：公交公司应积极配合乘客就医，垫付必要的医疗费用。双方对责任认定无异议时，可协商赔偿事宜；对责任划分有争议时，乘客可向交通运输管理部门投诉请求协助调查，或通过法律途径向法院提起民事诉讼。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第八百二十三条：“承运人应当对运输过程中旅客的伤亡承担赔偿责任；但是，伤亡是旅客自身健康原因造成的或者承运人证明伤亡是旅客故意、重大过失造成的除外。前款规定适用于按照规定免票、持优待票或者经承运人许可搭乘的无票旅客。”
综上所述，公交车起步时乘客摔倒的责任归属需根据具体情况判断，可能涉及乘客自身、公交公司或司机责任。同时，该类事件通常由交通运输管理部门负责监管和处理。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。