结论：出租车司机捡到手机开始不承认，在人家报警且有证据后承认，是否会被拘留需视具体情况而定，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、法律定性角度
侵占罪角度：
- 根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，侵占罪是指以非法占有为目的，将他人的交给自己保管的财物、遗忘物或者埋藏物非法占为己有，数额较大，拒不交还的行为。
- 在本案例中，如果出租车司机捡到手机后，明知是他人遗失的财物而非法占为己有，且数额较大（一般指价值达到一定标准，如1000元至3000元以上，具体标准因地区而异），在失主索要时拒不归还，那么司机的行为可能构成侵占罪。
- 然而，侵占罪是告诉才处理的犯罪，即需要失主自行向法院提起诉讼，公安机关一般不会主动介入。因此，在这种情况下，司机通常不会被公安机关拘留，但可能面临刑事诉讼的风险。
治安管理处罚角度：
- 如果司机捡到手机后，虽然开始不承认，但在警方介入并出示证据后承认并归还手机，且没有造成严重后果或恶劣影响，那么司机的行为可能不构成犯罪，但可能违反《中华人民共和国治安管理处罚法》中关于“盗窃、诈骗、哄抢、抢夺、敲诈勒索或者故意损毁公私财物的”相关规定（尽管此处更偏向于“侵占”而非直接“盗窃”等，但治安管理处罚法中对于类似行为也有相应的规制，具体需看行为的社会危害性和情节轻重）。
- 不过，在实际操作中，对于这种情节较轻、且最终归还财物的行为，公安机关通常会以教育为主，可能不会给予拘留等严厉的处罚，但会进行警告、罚款等处理。
二、情节严重程度角度
情节轻微：
- 如果司机捡到手机后，虽然开始不承认，但在警方介入后很快承认并归还手机，且没有造成失主任何损失或不便，那么司机的行为可能被视为情节轻微。
- 在这种情况下，公安机关可能会对司机进行口头警告或教育，而不会采取拘留等强制措施。
情节严重：
- 如果司机捡到手机后，不仅不承认，还试图将手机出售或藏匿，且在警方介入后仍然拒不归还，或者造成失主重大损失或恶劣影响（如失主因手机丢失而错过重要事务、手机内含有重要商业机密等），那么司机的行为可能被视为情节严重。
- 在这种情况下，司机可能面临刑事指控或更严厉的治安管理处罚，包括拘留等。
三、建议与提醒
- 对于失主：如果遇到类似情况，建议首先尝试与司机沟通协商解决；如果无法解决，可以及时向警方报案并提供相关证据；同时，也可以考虑通过法律途径维护自己的合法权益。
- 对于司机：捡到他人财物后，应尽快联系失主或交给相关部门处理；切勿因一时贪念而非法占为己有或拒不归还；否则，可能面临法律制裁和道德谴责。
总结：出租车司机捡到手机开始不承认，在人家报警且有证据后承认，是否会被拘留取决于具体情节和法律规定。如果情节轻微且最终归还财物，可能不会被拘留；如果情节严重或构成犯罪，则可能面临刑事指控或更严厉的治安管理处罚。因此，建议双方都能理性处理此类事件，遵守法律法规和道德规范。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。