当行政处罚执行遇到困难时，无论是从行政机关的角度还是从行政相对人的角度，都有一系列措施可以采取来确保行政决定的履行，同时保障当事人的合法权益。以下是一些详细的建议：
行政机关角度
催告履行：
- 当行政相对人在法定期限内既不申请行政复议或提起行政诉讼，又不履行行政处罚决定时，行政机关应制作并送达《催告书》，书面催告当事人履行义务。
- 催告书中应明确告知当事人履行期限、方式以及逾期不履行的后果，如加处罚款、申请法院强制执行等。
加处罚款或滞纳金：
- 针对当事人到期不缴纳罚款的情况，行政机关可以按照每日罚款数额的一定比例（如3%）加处罚款，但加处罚款的数额不得超过原罚款数额。
- 对于金钱给付以外的义务，如税费缴纳，可依法加收滞纳金。
申请法院强制执行：
- 如果当事人在法定期限内不申请行政复议或者提起行政诉讼，经催告仍不履行，且行政机关没有行政强制执行权，那么行政机关应在期限届满之日起三个月内，向人民法院提交强制执行申请书及相关材料。
- 申请材料应包括行政处罚决定书、当事人的意见及行政机关催告情况、申请强制执行标的情况等。
直接强制执行（有行政强制执行权的情况下）：
- 在法律赋予行政机关直接强制执行权的特定领域，如公安、国安、税务、海关和县级以上政府等，行政机关可按照法律规定的程序和方式直接执行。
- 例如，公安机关可以对违反治安管理行为人实施行政拘留，税务机关可以直接采取划拨存款、扣押财产等方式强制执行税款。
中止或终结执行：
- 在特定情形下，如当事人因疾病、自然灾害等导致经济困难，或执行可能造成难以弥补的损失且不影响公共利益时，行政机关可中止执行。
- 若当事人死亡且无遗产可供执行，或法人终止且无财产及义务承受人，或执行标的灭失，或行政决定被撤销等，行政机关可终结执行。
执行和解：
- 在不损害公共利益和他人权益的前提下，行政机关可与当事人达成执行协议，如分阶段履行、减免加处罚款等。
- 若当事人不履行协议，行政机关有权恢复强制执行。
行政相对人角度
积极沟通协商：
- 如果行政相对人有合理的理由导致无法按时履行行政处罚决定，如经济困难等，可以与行政机关进行沟通。
- 说明实际情况，请求给予一定的宽限期、分期缴纳罚款或者其他合理的解决方案。
依法寻求救济：
- 行政复议：认为行政处罚决定存在事实不清、证据不足、适用法律错误、程序违法等问题时，可在知道该具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请。
- 行政诉讼：对行政复议结果不满意或者在法定期限内未得到行政复议答复的，可在收到复议决定书之日起十五日内或者在知道作出具体行政行为之日起六个月内向人民法院提起诉讼。
其他注意事项
- 处罚审查：若行政处罚存在事实不清、证据不足等问题，当事人可向上级行政机关或法院申请审查撤销。
- 强制措施与刑事责任：若当事人长期拒不履行处罚决定且不申请复议或起诉，行政机关可采取冻结银行账户、查封财产等强制措施，并可能追究其刑事责任。
综上所述，行政处罚的执行是一个复杂而细致的过程，需要行政机关和行政相对人共同努力，确保执法的合法性和合理性，同时鼓励当事人主动履行行政决定，以避免不必要的法律纠纷和损失。