结论：民营公司的法定代表人被判刑后，不能直接授权他人行使法定代表人的权利，但公司可以通过法定程序变更法定代表人，由新任法定代表人行使相关权利。

法律分析：

1. 法定代表人的法律地位：

   • 根据《中华人民共和国公司法》第十三条：“公司法定代表人依照公司章程的规定，由董事长、执行董事或者经理担任，并依法登记。公司法定代表人变更，应当办理变更登记。” 这表明，法定代表人的身份是特定的，且其变更需遵循法定程序。

2. 被判刑后的法定代表人权利限制：

   • 当法定代表人被判刑后，其个人自由受到限制，无法亲自履行法定代表人职责。然而，这并不意味着其可以随意授权他人代行其职。因为法定代表人的权利与义务是法定的，且与公司章程、公司登记等紧密相关，不能简单通过个人授权来转移。

3. 公司变更法定代表人的程序：

   • 若公司希望在被判刑的法定代表人无法履职期间，由其他人行使法定代表人权利，应依法进行法定代表人的变更。这通常涉及修改公司章程（如果章程中有相关规定）、召开股东会或董事会形成决议，并前往工商行政管理部门办理变更登记手续。
   • 变更后，新任法定代表人将依法行使公司法定代表人的权利，包括代表公司签署文件、参与诉讼等。

4. 特殊情况下的处理：

   • 在某些紧急情况下，如公司面临重大诉讼或交易，且无法及时完成法定代表人变更手续时，公司可以考虑通过其他合法方式（如由公司授权的其他高管或员工代表公司行事，但需明确授权范围和期限）来应对。然而，这种方式并非长久之计，且可能存在一定的法律风险。

建议：

• 对于民营公司而言，一旦法定代表人被判刑，应尽快启动法定代表人变更程序，以确保公司运营的连续性和合法性。
• 在变更过程中，应严格遵守相关法律法规和公司章程的规定，确保变更程序的合法性和有效性。
• 若公司面临紧急情况且无法及时完成变更手续，应咨询专业律师以获取合法、有效的应对方案。

后续行动：

• 若您需要进一步了解法定代表人变更的具体程序或面临相关法律问题，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。