当行政部门对上级作出的行政复议决定不认可时，可以采取以下几种法律途径来维护自身权益：

1. 提起行政诉讼

   • 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十五条的规定，公民、法人或其他组织若对行政复议决定不服，可在收到复议决定书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这是最主要的法律救济途径，通过司法程序对行政行为的合法性进行审查。
   • 起诉期限与管辖：需在收到复议决定书之日起十五日内起诉，管辖法院通常为最初作出行政行为的行政机关所在地或复议机关所在地的人民法院。特殊情况下，如涉及限制人身自由的行政强制措施或不动产案件，管辖法院会有所不同。
   • 起诉材料与审理：起诉状需记明原告、被告的基本信息，诉讼请求及事实与理由，证据和证据来源等。同时，准备相关证据材料，包括原复议申请时的证据和新发现的证据。法院将在七日内审查并决定是否立案，立案后将安排开庭审理。

2. 向上级行政机关反映

   • 若认为行政复议决定存在错误，除了提起行政诉讼外，还可以尝试向上级行政机关反映情况。上级行政机关在了解情况后，可能会对行政复议决定进行重新审查，并作出相应处理。这种方式虽然不具有强制力，但有时能促使问题得到更快解决。

3. 重新申请行政复议（特定情况下）

   • 在某些特定情况下，如认为复议过程中存在程序问题或复议决定未充分考虑自身权益，可以尝试重新申请行政复议。但重新申请时需提供新的证据或理由来支持复议申请，且应确保符合复议受理条件。不过，通常情况下，对同一行政行为只能申请一次行政复议，因此这种方式的应用场景较为有限。

4. 申请国务院裁决（仅限特定情形）

   • 适用情形：根据《行政复议法》的相关规定，若对省部级单位（包括省级人民政府和国务院部门）作出的行政复议决定不服，可以以书面形式向国务院提出裁决申请。
   • 申请方式与程序：需说明申请裁决的事项、理由及对原省部级单位复议决定不服的具体内容。国务院将依照法定程序进行审查和处理，并作出最终裁决。此裁决为终局裁决，不可再通过其他司法途径寻求救济。

5. 寻求其他辅助措施

   • 申请行政赔偿：若行政行为被确认违法并造成损害，可以依据《国家赔偿法》的相关规定，在行政诉讼中一并提出赔偿请求，或单独向赔偿义务机关提出申请。
   • 信访与监督：在法定救济途径之外，还可以通过信访渠道反映问题，或向纪检监察机关举报公职人员的违法行为。但需注意，这些途径不能替代法定救济程序，应谨慎使用并避免影响司法程序。

建议与风险提示：

• 在采取任何行动前，建议先梳理清楚案件事实和法律依据，评估各种救济途径的可行性和风险。
• 提起行政诉讼涉及复杂的法律程序和专业知识，因此务必准备充分，确保起诉状和证据材料的完整性和准确性。
• 若对法律程序不熟悉或案件涉及重大利益，建议直接向我咨询，以便获得更具体和专业的法律建议。

总之，当行政部门对上级作出的行政复议决定不认可时，应根据具体情况选择合适的救济途径，并遵循法定程序和时限要求，以确保自身权益得到有效维护。