遭遇银行卡被盗刷时，关于立案单位的选择，可以明确以下几点：
犯罪行为发生地公安机关：
- 犯罪行为实施地、预备地、开始地、途经地、结束地等均为犯罪行为发生地。在银行卡盗刷案件中，这通常包括ATM机所在地、POS机所属商家的经营地址等具体地点。
- 对于网络盗刷犯罪，犯罪行为发生地还包括服务器所在地、网络服务提供者所在地、被侵害的信息网络系统及其管理者所在地，以及犯罪嫌疑人、被害人使用的信息网络系统所在地等。
犯罪结果发生地公安机关：
- 犯罪结果发生地包括犯罪对象被侵害地，以及犯罪所得的实际取得地、藏匿地、转移地、使用地、销售地。
- 在银行卡盗刷案件中，持卡人的常住地、住所地等通常视为犯罪结果发生地，因为这里往往是资金减少的地点。持卡人可优先选择在自己所在地（即犯罪结果发生地）的公安机关报案，这样更便于案件处理及后续维权。
立案流程与应对措施：
- 立即报警：一旦发现银行卡被盗刷，应立即向上述任一有管辖权的公安机关报案，并提供详细的盗刷情况，包括盗刷时间、地点、金额等信息。
- 联系银行挂失：同时，应尽快联系银行，通过电话银行或网上银行进行临时挂失，然后到银行柜台办理正式挂失，以防止损失进一步扩大。
- 保留证据：在报警和挂失的同时，应妥善保留好相关证据，如交易记录、短信通知、ATM机监控录像等，这些将是后续维权和诉讼的重要依据。
立案标准与法律责任：
- 盗刷银行卡通常涉及盗窃罪或信用卡诈骗罪。具体立案标准根据涉案金额及特殊情形来确定，如盗窃公私财物价值达到当地规定的“数额较大”标准（一般为一千元至三千元以上，具体数额由各地根据实际情况确定），或者存在特殊情形（如曾因盗窃受过刑事处罚、一年内曾因盗窃受过行政处罚等），公安机关即会立案追诉。
- 盗刷银行卡的行为人将承担相应的法律责任，根据盗刷金额的大小和犯罪情节的严重程度，犯罪嫌疑人可能被判处不同期限的有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金。若盗刷金额特别巨大或有其他特别严重情节，犯罪嫌疑人甚至可能被判处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处罚金或者没收财产。
建议：
- 为方便案件处理及维权，持卡人应优先选择在自己所在地（犯罪结果发生地）的公安机关报案。若报案地点不属于公安机关管辖范围，他们会按规定将案件移送有管辖权的公安机关处理。
- 在发现银行卡被盗刷后，应迅速采取行动，包括冻结银行卡、向公安机关报案、保留相关证据，并与银行协商赔偿事宜。若协商不成，可考虑通过诉讼途径来维护自己的合法权益。
希望以上解答能对您有所帮助。如果您在银行卡盗刷案件中遇到任何法律问题，欢迎直接向我咨询。