结论：酒后驾车肇事司机当天来医院第二天跑路，这种行为很可能构成肇事逃逸，但具体还需结合实际情况判断。以下从不同角度为你详细分析：

一、肇事逃逸的构成要件

根据相关法律规定，肇事逃逸通常需要满足以下几个要件：

1. 明知发生交通事故：司机必须明知自己发生了交通事故，这是构成肇事逃逸的前提。
2. 为逃避法律追究而逃跑：司机在明知发生交通事故后，为了逃避法律追究而选择逃跑，这是肇事逃逸的核心要件。

二、本案情况分析

1. 酒后驾车肇事：司机酒后驾车并发生交通事故，这本身就已经违反了交通法规，且酒后驾车往往会导致司机反应迟钝、判断力下降，从而增加事故的风险。
2. 当天来医院：司机在事故发生后选择到医院，可能是出于对自己或他人伤势的关心，也可能是为了逃避法律追究而暂时躲避。但仅凭这一行为，并不能直接判断其是否构成肇事逃逸。
3. 第二天跑路：司机在到医院后的第二天选择逃跑，这一行为很可能表明其是为了逃避法律追究。因为如果司机真的只是出于关心伤势而到医院，那么在伤势得到一定处理或了解情况后，他应该会选择配合警方调查，而不是选择逃跑。

三、可能的影响因素

1. 司机的主观意图：司机逃跑时的主观意图是判断其是否构成肇事逃逸的关键。如果司机确实是为了逃避法律追究而逃跑，那么其行为就构成肇事逃逸。
2. 事故的具体情况：事故的具体情况，如事故的严重程度、是否有人员伤亡等，也可能影响对司机行为的判断。如果事故严重，且有人员伤亡，那么司机逃跑的行为更可能被认定为肇事逃逸。
3. 司机的后续行为：司机逃跑后的后续行为，如是否主动投案、是否配合警方调查等，也是判断其是否构成肇事逃逸的重要因素。

四、法律后果

如果司机的行为被认定为肇事逃逸，那么他将面临严重的法律后果。根据相关法律规定，肇事逃逸的司机可能会被吊销驾驶证、终身禁驾，并可能面临刑事责任的追究。同时，如果事故造成人员伤亡或财产损失，司机还需要承担相应的民事赔偿责任。

建议：如果你或他人遇到了类似的情况，建议立即报警并配合警方调查。同时，也可以向我咨询具体的法律问题，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律建议。