结论：在无第三方车祸且司机全责的情况下，司机可以垫付伤者的医疗费，但这并非法律强制要求，而是基于道德和实际情况的一种选择。以下是对此问题的详细分析：

一、法律角度

1. 责任承担：根据交通事故责任认定，司机全责意味着司机需要承担事故造成的全部损失，包括伤者的医疗费、误工费、护理费等。因此，从法律责任的角度来看，司机有义务赔偿伤者的医疗费。

2. 垫付行为：虽然法律没有明确规定司机必须垫付医疗费，但垫付行为本身并不违反法律规定。司机可以选择在事故发生后立即垫付医疗费，以减轻伤者的经济负担，并展现其积极承担责任的态度。

二、实际操作角度

1. 垫付的益处：

   • 减轻伤者负担：及时垫付医疗费可以帮助伤者及时得到治疗，减轻其经济和心理压力。
   • 促进事故处理：垫付行为可能有助于缓和双方矛盾，促进事故的后续处理，如保险理赔、调解或诉讼等。

2. 垫付的风险：

   • 资金压力：垫付医疗费可能给司机带来一定的资金压力，特别是当医疗费用较高时。
   • 后续理赔问题：如果司机垫付了医疗费，但后续保险理赔或诉讼过程中出现问题，如保险公司拒赔或赔偿金额不足，司机可能面临资金损失的风险。

三、建议与注意事项

1. 保留证据：如果司机选择垫付医疗费，应务必保留好相关证据，如医疗费发票、支付凭证等，以便后续理赔或诉讼时使用。

2. 与保险公司沟通：司机应及时与自己的保险公司沟通，了解保险理赔的流程和要求，确保垫付的医疗费能够得到及时、有效的赔偿。

3. 考虑伤者情况：在决定是否垫付医疗费时，司机应考虑伤者的实际情况和需要，以及自身的经济能力和风险承受能力。

4. 法律途径：如果司机与伤者之间就医疗费垫付问题存在争议，可以通过法律途径解决，如申请调解或提起诉讼等。

总结：在无第三方车祸且司机全责的情况下，司机可以选择垫付伤者的医疗费，但应充分考虑自身经济能力和风险承受能力，并保留好相关证据以便后续理赔或诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。