面对公司发出的终止劳动合同通知书，员工是否可以签，需要分情况讨论，不能一概而论。以下是对此问题的详细分析和建议：

一、法定终止情形下的处理

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条的规定，当劳动合同期满、劳动者开始依法享受基本养老保险待遇、劳动者死亡或被宣告死亡/失踪、用人单位被宣告破产、营业执照被吊销或责令关闭/撤销/解散等法定情形出现时，劳动合同即行终止。在这些情形下，公司向员工送达终止劳动合同通知书，是为了履行法定的通知义务。此时，通知书的生效并不以员工签字为要件。只要公司能够证明已经通过合法有效的方式（如当面送达、挂号信邮寄送达、公告送达等）将通知书送达给员工，即使员工拒绝签字，也不影响劳动合同终止的法律效力。

建议：在法定终止情形下，员工可以签字确认收到通知书，以表明自己已知晓合同终止事宜。但签字前，应仔细阅读通知书内容，确保无误，并在有异议时及时与公司沟通协商。

二、协商一致终止时的特殊处理

在某些特殊情况下，如公司与劳动者协商一致决定终止劳动合同时，为了明确双方的权利和义务，避免后续可能出现的纠纷，终止劳动合同通知书可能需要员工签字。员工的签字在这种情况下起到了确认和同意协商内容的作用，可以作为双方达成一致意见的书面证据。

建议：

1. 合法性审查：在签字前，员工应首先审查公司终止劳动合同的合法性。若公司存在违法终止的情况，如女职工孕期、产期、哺乳期内被擅自终止劳动合同，或劳动者患职业病、因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力等法定不得终止劳动合同的情形下被终止，员工不应轻易签字，并有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
2. 补偿合理性评估：若公司终止劳动合同的行为合法，员工应进一步评估经济补偿的合理性。经济补偿应按照法律规定支付，以工作年限每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。若补偿合理，可考虑签字。
3. 通知书内容核对：员工应仔细阅读通知书的内容，确保其中的条款和信息准确无误，包括工作年限、工资标准、经济补偿计算、终止原因等。如有任何疑问或异议，应及时与公司沟通协商，并在协商一致后再签字。

三、签字后的行动指南

无论是否签字，员工在劳动合同终止后，都应依法办理离职手续，并保留好相关证据以备后续可能的争议。

1. 办理离职手续：根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条规定，劳动者应当按照双方约定，办理工作交接。员工应配合公司办理工作交接、档案转移、社会保险关系转移等离职手续。这是员工的法定义务，也是保障自身权益的重要步骤。同时，用人单位依照本法有关规定应当向劳动者支付经济补偿的，在办结工作交接时支付。
2. 保留证据与维权准备：即使签署了终止劳动合同通知书，如果员工认为公司的解除行为违法或存在争议，仍有权向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。因此，员工应保留好相关证据，如通知书原件、工资单、工作记录等，以备后续可能的争议解决之需。

总结：面对公司发出的终止劳动合同通知书，员工应首先判断终止情形是否合法，再评估经济补偿的合理性，并仔细阅读通知书内容。在法定终止情形下，签字不是必要条件；但在协商一致终止时，签字可能是必要的。无论何种情况，员工都应保持冷静和理性，必要时可向我咨询以获取更具体的法律建议和支持。