结论：公司在以下特定情况下解除与劳动者的劳动合同时，可以不支付“N+1”赔偿，甚至在某些情况下完全无需支付经济补偿：
劳动者存在过错，公司合法解除劳动合同
- 具体情形：根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，若劳动者存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害、同时与其他公司建立劳动关系且严重影响本职工作且拒不改正、以欺诈胁迫手段订立或变更劳动合同、被依法追究刑事责任等情形，公司有权立即解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
- 法律背景：这些情形属于劳动者自身过错导致的合同解除，法律未要求公司承担经济补偿责任。
- 举例：若员工因盗窃公司财物被公安机关立案侦查，公司可依据此条款直接解除劳动合同，无需支付任何补偿。
公司因劳动者原因依法终止劳动合同
- 具体情形：如劳动合同期满，公司维持或提高原劳动合同条件续订而劳动者拒绝；或劳动者开始依法享受基本养老保险待遇、死亡或被宣告失踪等，公司终止劳动合同无需支付经济补偿。
- 法律背景：这些情形属于合同自然终止或劳动者原因导致的终止，法律未规定经济补偿义务。
- 举例：员工合同到期后，公司提出续签且条件不变，但员工因个人原因拒绝续签，此时公司无需支付经济补偿。
公司经济性裁员但履行法定程序
- 具体情形：根据《劳动合同法》第四十一条，公司因濒临破产、生产经营严重困难等经济原因裁员时，若提前三十日向工会或全体职工说明情况、听取意见，并向劳动行政部门报告裁减人员方案，则无需支付“N+1”赔偿（但需支付“N”补偿，即按工作年限支付经济补偿）。
- 法律背景：经济性裁员是公司为应对经营困境的合法手段，法律在保护劳动者权益的同时，也允许公司在履行法定程序后降低补偿标准。
- 举例：公司因市场萎缩需裁员20人，若提前30天向工会说明情况并报告劳动行政部门，则只需按“N”标准支付补偿，无需额外支付“+1”部分。
公司合法解除但已提前30日书面通知
- 具体情形：根据《劳动合同法》第四十条，公司因劳动者患病、不能胜任工作或客观情况重大变化等无过失性原因解除合同时，若提前30日以书面形式通知劳动者，则只需支付“N”补偿，无需支付“+1”部分。
- 法律背景：“+1”部分是对未提前通知的额外补偿，若公司已履行通知义务，则无需支付。
- 举例：员工因患病无法从事原工作，公司提前30天书面通知其解除合同，并支付了“N”补偿，此时无需再支付“+1”部分。
法律建议：
- 对劳动者：若公司以“合法解除”为由拒绝支付补偿，应核实解除理由是否符合《劳动合同法》第三十九条或第四十条的规定，并检查公司是否履行了法定程序（如提前通知、听取工会意见等）。若公司行为违法，可依法主张“2N”赔偿（即双倍经济补偿）。
- 对公司：在解除劳动合同时，应严格遵守法定程序和条件，避免因程序瑕疵或理由不充分而承担额外赔偿责任。同时，建议保留相关证据（如书面通知、工会意见、裁员方案等）以备争议时使用。
可能法律后果：
- 若公司违法解除劳动合同（如未提前通知、未履行法定程序等），劳动者有权要求公司支付“2N”赔偿，并可能通过劳动仲裁或诉讼维护权益。
- 若劳动者滥用权利（如虚构过错、拒绝合法续签等），公司可依法拒绝支付补偿，并可能追究劳动者的法律责任。