结论：非工作时间，员工一般没有义务关注公司发的公告，但具体是否需要关注需根据公告内容、公司规章制度以及劳动合同的约定来判断。以下从不同角度进行分析：
从劳动合同和公司规章制度的角度：
- 如果劳动合同或公司规章制度中明确规定了员工在非工作时间需要关注公司公告，并且这一规定不违反法律法规的强制性规定，那么员工可能需要遵守这一规定。但这样的规定通常较为少见，且需要合理性和合法性。
- 大多数情况下，劳动合同和公司规章制度不会要求员工在非工作时间关注公司公告，因为这可能侵犯员工的休息权。
从公告内容的性质和重要性的角度：
- 如果公告内容涉及员工的切身利益，如工资调整、职位变动、公司重大决策等，且公司明确要求员工在特定时间内了解并反馈，那么员工可能需要给予关注。但即便如此，公司也应尽量在工作时间发布此类公告，或给予员工合理的处理时间。
- 如果公告内容仅为一般性通知或信息，且不影响员工的正常工作和生活，那么员工在非工作时间没有义务关注。
从法律义务和道德责任的角度：
- 从法律义务的角度来看，员工在非工作时间没有必须关注公司公告的法定义务。员工的休息权受法律保护，公司不应过度干涉员工的私人时间。
- 从道德责任的角度来看，虽然员工没有法律义务关注非工作时间的公告，但如果公告内容对公司或员工个人有重要影响，且员工有能力在不影响个人生活的情况下给予关注，那么从职业道德和团队协作的角度出发，员工可能会选择适当关注。
建议：
- 对于公司而言，应尽量避免在非工作时间发布需要员工立即关注的公告，以尊重员工的休息权。如果确实需要发布重要公告，可以提前通知员工，并给予合理的处理时间。
- 对于员工而言，如果公司规章制度或劳动合同中有相关规定，或者公告内容涉及个人切身利益，那么可以适当关注。但如果没有明确规定或公告内容不重要，员工则没有义务在非工作时间关注。
可能后果：
- 如果员工未关注非工作时间的公告，且该公告内容对公司或员工个人有重要影响，可能会导致一些不必要的麻烦或损失。但这种情况通常较为少见，且公司应承担主要责任，因为公司有义务在合理时间内发布公告并给予员工处理时间。
- 如果公司因员工未关注非工作时间的公告而采取不当措施（如处罚员工），员工可以依法维护自己的权益，如向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁等。
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