结论：不认可合同条款不续签能否申请赔偿，需分情况讨论，具体如下：

1. 若原合同中有关于不续签的赔偿条款：

   • 在这种情况下，如果合同中明确规定了当一方不认可合同条款并选择不续签时，应向另一方支付一定的赔偿金，那么不续签的一方就需要按照合同约定履行赔偿义务。这是因为合同是双方自愿达成的协议，具有法律约束力，双方都应遵守合同中的各项条款。
   • 例如，合同中可能规定：“若任何一方因不认可本合同条款而选择不续签，应向另一方支付相当于一个月租金的赔偿金。”在这种情况下，不续签的一方就需要支付这笔赔偿金。

2. 若原合同中没有关于不续签的赔偿条款：

   • 如果合同中没有明确规定不续签时的赔偿事宜，那么一般情况下，不续签的一方不需要向另一方支付赔偿金。因为合同没有约定，就没有法律上的依据要求不续签方进行赔偿。
   • 但是，也存在一些特殊情况。比如，如果不续签的行为给另一方造成了实际损失，且这种损失是由于不续签方的过错或违约行为导致的，那么另一方有权要求不续签方赔偿其实际损失。这通常需要根据具体情况和相关法律法规进行判断和认定。例如，在租赁合同中，如果租客因为不认可新的租金条款而选择不续签，但房东已经为了租客的续租进行了装修或购买了特定设备，且这些装修或设备无法用于其他用途或难以转售，那么房东可能有权要求租客赔偿其因此遭受的实际损失。不过，这种赔偿通常需要房东提供充分的证据来证明其损失的大小和与租客不续签行为的因果关系。

建议：在面对不认可合同条款并选择不续签的情况时，建议先仔细审查原合同中的相关条款，了解是否有关于不续签的赔偿规定。如果没有明确规定，且不续签行为没有给对方造成实际损失或损失难以证明，那么一般不需要支付赔偿金。但如果有实际损失且能证明与不续签行为有因果关系，那么可能需要考虑赔偿问题。在任何情况下，都建议与对方进行友好协商，以寻求妥善的解决方案。如果协商无果，可以寻求法律途径解决争议。