结论前置：在劳动合同第二次到期后，若公司选择不续签或降低劳动条件导致劳动者不愿续签，且不存在劳动者严重违反用人单位规章制度等特定情形时，公司应向劳动者支付经济补偿金。具体赔偿情况需根据劳动者的工作年限、工资水平及公司行为性质来确定。
详细分析：
经济补偿的支付条件：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，当劳动合同第二次到期，若公司维持或提高原劳动合同条件而劳动者不愿续签，则公司无需支付经济补偿。但若公司选择不续签，或降低劳动条件导致劳动者不愿续签，且劳动者不存在严重违反公司规章制度等情形，公司则需支付经济补偿。
经济补偿的计算标准：
- 经济补偿的计算依据劳动者在本单位的工作年限和劳动合同终止前十二个月的平均工资来确定。具体为：每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算并支付一个月工资；不满六个月的，支付半个月工资。
- 这里的“月工资”指的是劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若劳动者的月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
计算公式：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或当地上年度职工月平均工资三倍，以较低者为准，且最高不超过十二年）
示例：
- 假设劳动者在公司工作了5年，劳动合同终止前十二个月的平均工资为10000元，当地上年度职工月平均工资为8000元。则经济补偿金为：5年 × 10000元/年 = 50000元（因未超过当地上年度职工月平均工资三倍的支付年限上限，故直接按工作年限和月工资计算）。
- 若劳动者月工资为30000元，当地上年度职工月平均工资为8000元，则经济补偿金为：12年（最高年限）× 8000元/年 × 3 = 288000元（因月工资超过当地上年度职工月平均工资三倍，故按三倍数额和最高年限计算）。
特定情形下的免责：
- 如果劳动者存在《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条规定的情形，如严重违反用人单位的规章制度、被依法追究刑事责任等，导致用人单位决定不续签劳动合同的，用人单位无需支付经济补偿。
无固定期限劳动合同的订立与责任：
- 在连续订立二次固定期限劳动合同后，且劳动者没有《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，若劳动者提出或同意续订、订立劳动合同，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 如用人单位违反此规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同，自应当订立之日起需向劳动者每月支付二倍的工资。
维权建议：
- 劳动者在遇到合同到期不续签的情况时，应首先与公司进行沟通协商，明确公司的态度和意图。
- 若双方无法达成一致，劳动者可以收集相关证据（如劳动合同、工资单、工作记录等），向劳动仲裁委员会申请仲裁或向人民法院提起诉讼来维护自己的合法权益。
总结：劳动合同第二次到期不续签时，公司是否需要支付经济补偿金取决于多种因素，包括公司行为性质、劳动者的工作年限和工资水平等。劳动者在遇到此类情况时，应充分了解相关法律法规，通过协商、仲裁或诉讼等途径维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。