结论：教师使用前夫的营业执照是否违法，需根据具体情况判断，主要涉及营业执照的使用权限、经营活动的性质以及是否违反相关法律法规等。以下从不同角度进行分析：

一、营业执照的使用权限

1. 营业执照的归属：营业执照是企业合法经营的凭证，其归属权属于企业或个体工商户的登记人。在一般情况下，营业执照不得随意出借或转让给他人使用。
2. 使用权限的界定：如果教师并非营业执照的登记人，且未经登记人同意擅自使用其营业执照进行经营活动，那么这种行为可能构成无照经营或冒用他人营业执照的违法行为。

二、经营活动的性质

1. 合法经营：如果教师使用前夫的营业执照进行的是合法经营活动，且该经营活动与营业执照的登记范围相符，但关键在于是否获得了营业执照登记人的明确授权。未经授权，即使经营活动本身合法，也可能因营业执照使用不当而构成违法。
2. 非法经营：如果教师使用前夫的营业执照进行的是非法经营活动，如销售假冒伪劣产品、进行欺诈等，那么这种行为不仅违反了营业执照的使用规定，还可能构成更严重的犯罪行为，如非法经营罪、诈骗罪等。

三、相关法律法规的违反

1. 无照经营查处取缔办法：根据相关规定，任何单位和个人不得违反法律、法规的规定，从事无照经营。如果教师未经授权使用前夫的营业执照进行经营活动，且该经营活动未依法取得许可，那么可能构成无照经营，面临行政处罚甚至刑事责任。
2. 其他相关法律法规：除了无照经营的相关规定外，教师使用前夫的营业执照还可能涉及其他法律法规的违反，如税收法规、市场监管法规等。具体取决于经营活动的性质和具体情况。

四、建议与风险提示

1. 合法使用营业执照：如果教师需要从事经营活动，应当依法办理自己的营业执照，或者与前夫协商并获得其明确授权后使用其营业执照。
2. 了解相关法律法规：在从事经营活动前，教师应当充分了解并遵守相关法律法规的规定，避免因无知而违法。
3. 风险防范：如果教师决定使用前夫的营业执照进行经营活动，应当签订书面协议明确双方的权利和义务，并保留好相关证据以防范潜在的法律风险。

总结来说，教师使用前夫的营业执照是否违法取决于多种因素，包括营业执照的使用权限、经营活动的性质以及是否违反相关法律法规等。为了确保合法经营并防范法律风险，建议教师在从事经营活动前咨询专业律师或相关机构以获取准确的法律意见。如果你有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。