针对您提出的“生母去世和继父断绝关系财产怎么划分”的问题，这是一个涉及法律继承和财产分割的复杂情况。以下是我为您提供的详细解答：
一、明确财产范围与性质
首先，我们需要明确哪些财产属于可分割的范围，并了解这些财产的性质。这主要包括：
夫妻共同财产：在母亲与继父婚姻关系存续期间所得的财产，如工资、奖金、生产经营收益等，原则上归夫妻共同所有。母亲去世后，这部分财产应先进行分割，一半归继父所有，另一半作为母亲的遗产。
母亲的个人财产：包括母亲的婚前财产、因身体受到伤害获得的医疗费等专属个人的财产，以及遗嘱或赠与合同中确定只归母亲一方的财产。这些财产全部作为母亲的遗产进行分割。
二、分析法律关系与继承权
接下来，我们需要分析继父与子女之间的法律关系，以确定各自的继承权。
继父与子女的抚养关系：
- 如果继父与母亲结婚时，子女尚未成年且与继父形成了抚养关系（即继父对子女进行了实际上的抚养和教育），那么继父与子女之间就形成了有扶养关系的继父母子女关系。在这种情况下，继父和子女都是第一顺序的法定继承人。
- 如果继父与子女没有形成抚养关系，那么继父无权继承子女的生母留下的遗产（除非通过遗嘱指定），同时，在断绝关系的情况下，子女也无权继承继父的遗产（除非继父通过遗嘱指定子女为继承人）。
法定继承与遗嘱继承：
- 如果母亲留有遗嘱，且遗嘱中指定了财产的继承人，那么应当按照遗嘱进行继承。
- 如果没有遗嘱，则按照法定继承办理。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，第一顺序继承人为配偶、子女、父母。在此情况下，继父（如果形成抚养关系）和子女都有权继承母亲的遗产。
三、财产分割原则与具体步骤
在明确了财产范围和法律关系后，我们可以遵循以下原则进行财产分割：
协商处理：家庭成员之间应首先尝试通过协商来处理财产分割问题，这有助于维护家庭和谐，避免不必要的法律纠纷。
均等分割与特殊照顾：
- 同一顺序的继承人一般应当均等分割遗产。
- 对生活有特殊困难又缺乏劳动能力的继承人，应当予以照顾，分配更多的遗产份额。
- 对被继承人尽了主要扶养义务或者与被继承人共同生活的继承人，可以多分遗产。
具体步骤：
- 梳理财产清单：列出所有属于母亲和继父的共同财产以及母亲的个人财产。
- 确认法律关系：判断继父与子女之间是否形成抚养关系，以及是否存在有效的遗嘱。
- 协商分割方案：家庭成员之间协商制定财产分割方案，确保公平合理。
- 签订协议：如果协商达成一致，可以签订财产分割协议，并办理相关手续（如过户、变更登记等）。
- 寻求法律援助：如果协商不成或存在争议，可以寻求专业律师的帮助，通过法律途径解决纠纷。
四、特殊情况处理
在财产分割过程中，还需要考虑一些特殊情况：
- 如果继父与子女已经断绝关系，且没有形成抚养关系，那么继父通常无权继承子女的生母留下的遗产（除非遗嘱另有指定）。
- 如果母亲在遗嘱中排除了继父或子女的继承权，那么应当尊重遗嘱的意愿进行分割。
- 如果存在多个继承人且对遗产分割有争议，可以通过法律途径解决，如提起继承诉讼。
综上所述，母亲去世后与继父断绝关系时的财产划分是一个复杂的问题，需要综合考虑财产范围、法律关系、继承权以及财产分割原则等多个因素。建议您在处理此类问题时咨询专业律师的意见，以确保财产分割的合法性和公平性。